כדורי הזכוכית

מספר קלעים פיקחים שהו שהו באחוזה כפרית, והמארח, כדי לספק קצת בידור, תלה שרשראות של כדורי זכוכית, כפי שמוצג באיור, כדי לירות עליהם. לאחר שכולם העמידו את כישוריהם למבחן מספיק, מישהו שאל את השאלה הבאה: "מהו המספר הכולל של דרכים שונות בהן ניתן לשבור את ששת-עשר הכדורים האלה, אם עלינו תמיד לשבור את הכדור הנמוך ביותר שנותר על כל חוט?" לדוגמה, דרך אחת תהיה לשבור את כל ארבעת הכדורים על כל חוט ברצף, תוך לקיחת החוטים משמאל לימין. דרך נוספת תהיה לשבור תחילה את כל הכדורים הרביעיים על ארבעת החוטים, ואז לשבור את שלושת הנותרים על החוט הראשון, ואז לקחת את הכדורים על שלושת החוטים האחרים לסירוגין מימין לשמאל, וכן הלאה. יש מספר עצום של דרכים שונות (מכיוון שכל וריאציה קטנה של סדר יוצרת דרך שונה) שאדם נוטה להתרשם בתחילה מהקושי הגדול של הבעיה. עם זאת, זה ממש פשוט ברגע שמצאת את השיטה הנכונה לתקוף אותה. כמה דרכים שונות יש?