קרב הייסטינגס

כל ההיסטוריונים יודעים שיש מידה רבה של מסתורין וחוסר ודאות בנוגע לפרטי הקרב הבלתי נשכח לעולם באותו יום גורלי, `14` באוקטובר `1066`. החידה שלי עוסקת בקטע מוזר בכרוניקה נזירית עתיקה שאולי לעולם לא תקבל את תשומת הלב הראויה לה, ואם אינני יכול לערוב לאותנטיות של המסמך, הוא בכל זאת ישמש אותנו כדי לספק לנו בעיה שקשה שלא תעניין את אותם קוראים שלי שיש להם נטיות אריתמטיות. הנה הקטע המדובר.

"אנשיו של הרולד עמדו יחד היטב, כמנהגם, ויצרו שישים ואחת ריבועים, עם מספר שווה של אנשים בכל ריבוע מהם, ואוי לנורמני האמיץ שהעז להיכנס למעוזיהם; שכן מכה בודדת של גרזן מלחמה סקסוני תשבור את חניתו ותחתוך את מעיל השרשראות שלו.... כאשר הרולד השליך את עצמו לתוך המהומה, הסקסונים היו ריבוע אדיר אחד של אנשים, שצועקים את קריאות הקרב, 'Ut!' 'Olicrosse!' 'Godemitè!'"

כעת, אני מגלה שכל הרשויות העכשוויות מסכימות שהסקסונים אכן נלחמו בסדר מוצק זה. לדוגמה, ב"Carmen de Bello Hastingensi," שיר המיוחס לגאי, הבישוף של אמיין, שחי בתקופת הקרב, נאמר לנו ש"הסקסונים עמדו קבועים במסה צפופה," והנרי מהנטינגדון רושם ש"הם היו כמו טירה, בלתי חדירים לנורמנים;" בעוד רוברט וייס, כעבור מאה שנה, מספר לנו את אותו הדבר. אז מבחינה זו הכרוניקה החדשה שלי עשויה שלא לטעות כל כך. אבל יש לי סיבה להאמין שמשהו לא בסדר עם המספרים בפועל. תן לקורא לראות מה הוא יכול לעשות מהם.

מספר האנשים יהיה שישים ואחת פעמים מספר ריבועי; אבל כאשר הרולד עצמו הצטרף למהומה, הם הצליחו ליצור ריבוע גדול אחד. מהו המספר הקטן ביותר האפשרי של אנשים שיכולים היו להיות שם?

כדי להבהיר לקורא את הפשטות של השאלה, אתן את הפתרונות הנמוכים ביותר במקרה של `60` ו-`62`, המספרים שמיד לפני ואחרי `61`. הם `60xx4^2+1 = 31^2`, ו-`62xx8^2+1=63^2`. כלומר, `60` ריבועים של `16` אנשים כל אחד יהיו `960` אנשים, וכאשר הרולד הצטרף אליהם הם יהיו `961` במספר, וכך יצרו ריבוע עם `31` אנשים בכל צד. באופן דומה במקרה של המספרים שנתתי עבור `62`. עכשיו, מצא את התשובה הנמוכה ביותר עבור `61`.