הלוח בתאים

איננו יכולים לחלק את לוח השחמט הרגיל לארבעה תאים ריבועיים שווים, ולתאר מסע שלם, או אפילו מסלול, בכל תא. אבל אנחנו יכולים לחלק אותו לארבעה תאים, כפי שמוצג באיור, שניים המכילים כל אחד עשרים משבצות, ושניים האחרים מכילים כל אחד שתים עשרה משבצות, ובכך להשיג חידה מעניינת. אתם מתבקשים לתאר מסע חוזר ונכנס שלם על הלוח הזה, החל מאיפה שתרצו, אך לבקר בכל משבצת בכל תא עוקב לפני שעוברים לתא אחר, ולבצע את הקפיצה הסופית חזרה למשבצת ממנה יצא הפרש. זה לא קשה, אבל יתגלה כמבדר מאוד ולא חסר תועלת.

האם "מסע" חוזר ונכנס או "נתיב" פרש שלם אפשרי או לא על לוח מלבני ממדים נתונים תלוי לא רק בממדים שלו, אלא גם בצורה שלו. מסע אינו אפשרי באופן ברור על לוח המכיל מספר אי-זוגי של תאים, כגון `5` על `5` או `7` על `7`, מהסיבה הבאה: כל קפיצה עוקבת של הפרש חייבת להיות ממשבצת לבנה לשחורה ושחורה ללבנה לסירוגין. אבל אם יש מספר אי-זוגי של תאים או משבצות חייבת להיות משבצת אחת יותר מצבע אחד מאשר מהצבע השני, לכן הנתיב חייב להתחיל ממשבצת בצבע שנמצא בעודף, ולהסתיים בצבע דומה, ומכיוון שמהלך פרש מצבע אחד לצבע דומה הוא בלתי אפשרי, הנתיב לא יכול להיות חוזר ונכנס. אבל מסע מושלם יכול להתבצע על לוח מלבני בכל מימד, בתנאי שמספר המשבצות יהיה זוגי, ומספר המשבצות בצד אחד לא יהיה קטן מ-`6` ובצד השני לא יהיה קטן מ-`5`. במילים אחרות, הלוח המלבני הקטן ביותר שבו אפשרי מסע חוזר ונכנס הוא לוח בגודל `6` על `5`.

נתיב פרש שלם (לא חוזר ונכנס) על פני כל המשבצות של לוח לעולם אינו אפשרי אם יש רק שתי משבצות בצד אחד; וגם לא אפשרי על לוח ריבועי ממדים קטנים מ-`5` על `5`. כך שעל לוח `4` על `4` אנחנו לא יכולים לתאר מסע פרש וגם לא נתיב פרש שלם; אנחנו חייבים להשאיר משבצת אחת לא מבוקרת. אבל על לוח `4` על `3` (המכיל ארבע משבצות פחות) ניתן לתאר נתיב שלם בשש עשרה דרכים שונות. זה עשוי לעניין את הקורא לגלות את כולן. כל נתיב שמתחיל ומסתיים במשבצות שונות נספר כאן כפתרון שונה, ואפילו מסלולים הפוכים נקראים שונים.