קומבינטוריקה, תורת הגרפים

תורת הגרפים חוקרת גרפים, שהם מבנים המורכבים מקדקודים (צמתים) וקשתות המחברות ביניהם. היא משמשת למדידת יחסים. שאלות מכסות נושאים כמו מסלולים, מעגלים, קשירות, צביעת גרפים, עצים וניתוח תכונות של סוגי גרפים שונים.

• שאלה

  טבלה `N×N` ממולאת במספרים כך שכל השורות נבדלות (לפחות במקום אחד). הוכח/י כי אפשר למחוק עמודה כלשהי כך שבטבלה שתישאר גם כל השורות יהיו שונות.
  א. אנג'אנס

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 2

• שאלה

  בארץ הפלאות יש `n` ערים, שכל שתיים מהן מחוברות על ידי כביש. הכבישים נפגשים רק בערים ( אין צמתים מחוץ לערים). קוסם מרושע רוצה להפוך את כל הכבישים לחד-סטריים בצורה כזאת שאם יוצאים מעיר כלשהי - אי אפשר לחזור אליה יותר.

  א. הוכיחו שהקוסם המרושע יכול לעשות את זה.

  ב. הוכיחו שקיימת עיר שניתן להגיע ממנה לכל עיר אחרת, ושקיימת עיר שאי אפשר לצאת ממנה כלל.

  ג. הוכיחו שקיימת דרך שעוברת בכל הערים ויש רק אחת כזו.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים קומבינטוריקה -> אינדוקציה הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  במדינה יש `100` ערים, ומכל עיר יוצאים `4` כבישים (כביש יכול להתחיל או להסתיים רק בעיר). כמה כבישים יש במדינה הזאת?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  פרש שח יצא מהמשבצת `a1` והגיע למשבצת `h8`. האם יתכן שבדרך הוא ביקר בכל משבצות הלוח בדיוק פעם אחת?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

• שאלה

  כל בן אדם שחי אי פעם בכדור ארץ, ביצע מספר מסוים של לחיצות ידיים (כולל 0). הוכיחו כי כמות האנשים שביצעו מספרים אי-זוגיים של לחיצות ידיים – זוגית.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בקודקודים של קובייה רשומים המספרים `1`, `2`, `3`, ..., `8`. הוכיחו כי קיים מקצוע של הקובייה שההפרש בין המספרים שעומדים בקצותיו לפחות `3`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  הארץ הקסומה מורכבת מ-`25` מחוזות. האם יתכן שכל מחוז גובל במספר אי זוגי של מחוזות אחרים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה קומבינטוריקה -> תורת הגרפים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה קומבינטוריקה -> צביעות

• שאלה

  הוכיחו כי לא קיים פאון בעל `7` מקצועות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים

• שאלה

  הוכיחו שלכל פאון יש שתי פאות עם כמות זהה של מקצועות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> תורת הגרפים גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים

• שאלה

  ריבוע מחולק לכמה מצולעים קמורים (יותר מ-`1`), שלכל אחד מהם יש מספר שונה של צלעות. הוכיחו כי בין המצולעים האלה יש משולש.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> תורת הגרפים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים בעיות מינימום ומקסימום