שאלה

בהינתן מספר שלם חיובי N, נתבונן בתהליך הבא: נסמן ב-`S(N)` את סכום הספרות של N ניקח את סכום הספרות של `S(N)`  נחזור על הפעולה שוב ושוב עד שנקבל מספר חד ספרתי נקרא למספר הפעמים שביצענו את התהליך הנ"ל עד שקיבלנו מספר חד-ספרתי: "העומק" של N. לדוגמה, העומק של 49 הוא `S(49)=13 -> S(13)=4)2` , הפעולה בוצעה פעמיים( והעומק של 45 הוא 1.

א) הוכיחו כי לכל מספר N אכן יש עומק סופי, כלומר, שתמיד יתקבל מספר חד-ספרתי בשלב כלשהו של התהליך.

ב) נסמן ב-`x(n)` את המספר המינימלי (שערכו הקטן ביותר) בעל עומק N. מצאו את השארית של `x(5776)` בחילוק ב-6 .נמקו את תשובתכם!

ג) מצאו את השארית של המספר `x(5776) - x(5708)` בחילוק ב-2016 .נמקו את תשובתכם!