קומבינטוריקה, אינדוקציה

אינדוקציה מתמטית היא טכניקת הוכחה המשמשת לקבוע שטענה נכונה עבור כל המספרים הטבעיים (או סדרה אינסופית המתחילה משלם כלשהו). היא כוללת מקרה בסיס וצעד אינדוקטיבי. שאלות דורשות בניית הוכחות אינדוקטיביות לנוסחאות, תכונות או טענות.

• שאלה

  בארץ הפלאות יש `n` ערים, שכל שתיים מהן מחוברות על ידי כביש. הכבישים נפגשים רק בערים ( אין צמתים מחוץ לערים). קוסם מרושע רוצה להפוך את כל הכבישים לחד-סטריים בצורה כזאת שאם יוצאים מעיר כלשהי - אי אפשר לחזור אליה יותר.

  א. הוכיחו שהקוסם המרושע יכול לעשות את זה.

  ב. הוכיחו שקיימת עיר שניתן להגיע ממנה לכל עיר אחרת, ושקיימת עיר שאי אפשר לצאת ממנה כלל.

  ג. הוכיחו שקיימת דרך שעוברת בכל הערים ויש רק אחת כזו.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת הגרפים קומבינטוריקה -> אינדוקציה הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה

  בהינתן מספר שלם חיובי N, נתבונן בתהליך הבא: נסמן ב-`S(N)` את סכום הספרות של N ניקח את סכום הספרות של `S(N)`  נחזור על הפעולה שוב ושוב עד שנקבל מספר חד ספרתי נקרא למספר הפעמים שביצענו את התהליך הנ"ל עד שקיבלנו מספר חד-ספרתי: "העומק" של N. לדוגמה, העומק של 49 הוא `S(49)=13 -> S(13)=4)2` , הפעולה בוצעה פעמיים( והעומק של 45 הוא 1.

  א) הוכיחו כי לכל מספר N אכן יש עומק סופי, כלומר, שתמיד יתקבל מספר חד-ספרתי בשלב כלשהו של התהליך.

  ב) נסמן ב-`x(n)` את המספר המינימלי (שערכו הקטן ביותר) בעל עומק N. מצאו את השארית של `x(5776)` בחילוק ב-6 .נמקו את תשובתכם!

  ג) מצאו את השארית של המספר `x(5776) - x(5708)` בחילוק ב-2016 .נמקו את תשובתכם!

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ו שאלה 3

• שאלה

  במישור מצוירים מספר ישרים ומעגלים. הוכיחו שניתן לצבוע את האזורים שאליהם חולק המישור בשני צבעים כך שאזורים שכנים (כאלה שיש להם קטע או קשת משותפים) יהיו צבועים בצבעים שונים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינדוקציה גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות

• שאלה

  נתון מספר ממשי `a` כך ש-`a+1/a` מספר שלם. הוכיחו כי גם `a^n+1/a^n` שלם לכל `n` טבעי.

  נושאים:

  תורת המספרים קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> טכניקה אלגברית הוכחה ודוגמה אלגברה -> סדרות

• שאלה

  על הלוח כתובים המספרים: `1, 2, 3, …, 2016, 2017`. תוך מהלך אחד מותר לבחור זוג מספרים שכתובים על הלוח, למחוק אותם ולרשום במקומם את ההפרש שלהם (החיובי). אחרי מספר פעולות כאלו נשאר על הלוח מספר בודד. האם יתכן שזה אפס?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> אינדוקציה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• 26 מטבעות

  נתונים `26` מטבעות זהים למראה. אחד מהמטבעות מזויף, ומשקלו קטן יותר ממשקל של מטבע רגיל. איך למצוא את המטבע המזויף באמצעות שלוש שקילות במאזני כף ללא משקולות?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים בעיות מינימום ומקסימום

• 80 מטבעות

  נתונים `80` מטבעות זהים למראה. אחד מהמטבעות מזויף, ומשקלו קטן יותר ממשקל של מטבע רגיל. איך למצוא את המטבע המזויף באמצעות ארבע שקילות במאזני כף ללא משקולות?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה לוגיקה -> הגיון תורת האלגוריתמים -> שקילות בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  הוכיחו כי 

  `1+3+5+...+(2n-1)=n^2`

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית

• האם לכל הסוסים יש אותו צבע?

  שלומי טוען כי הוא הוכיח באמצעות אינדוקציה שבכל עדר כל הסוסים באותו צבע:

  אם יש סוס אחד, אז הוא בצבע של עצמו - כך הראנו כי בסיס אינדוקציה מתקיים.

  בשביל מעבר אינדוקציה, נמספר את הסוסים מ-`1` עד `n`. לפי הנחת אינדוקציה, הסוסים שמספרם מ-`1` עד `n-1`, כולם באותו צבע. באופן דומה, הסוסים שמספרם מ-`2` עד `n`, גם הם כולם באותו צבע. ובגלל שהצבעים של הסוסים מ-`2` עד `n-1`  הינם קבועים ולא יכולים להשתנות בהתאם לאיך ששייכנו אותם לקבוצה זו או אחרת, אז גם הסוסים ה-`1`  וה-`n` חייבים להיות באותו הצבע.

  האם שלומי ביצע טעות במהלך ההוכחה שלו? אם כן, מצאו את הטעות.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינדוקציה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• שאלה

  .המישור חולק על ידי n ישרים ומעגלים,

  הוכיחו כי את המפה שהתקבלה ניתן לצבוע בשני צבעים כך ששני חלקים שכנים (נפרדים על ידי קטע או קשת) נצבעים בצבעים שונים.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינדוקציה גאומטריה -> גאומטריה במישור הוכחה ודוגמה קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4