אלגברה, סדרות

סדרה היא רשימה סדורה של מספרים (או פריטים אחרים) שלעיתים קרובות עוקבת אחר כלל או תבנית ספציפיים. נושא זה מכסה זיהוי תבניות, מציאת איברים ספציפיים, קביעת נוסחאות כלליות (האיבר ה-`n`-י), והבנת סוגים שונים של סדרות (חשבוניות, הנדסיות, רקורסיביות).

• שאלה

  על הלוח כתובים המספרים:

  `1,2^1,2^2,2^3,2^4,2^5`

  תוך פעולה אחת מותר למחוק שני מספרים שכתובים על הלוח ולרשום במקומם את ההפרש (האי-שלילי) שלהם.

  האם ניתן להגיע באמצעות פעולות כאלו למצב שעל הלוח כתוב מספר יחיד והוא `15`?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  סכומם של כמה מספרים שווה ל-`1`. האם יתכן כי סכום הריבועים שלהם קטן מעשירית?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הוכח כי כל מספר ממשי אפשר לרשום כסכום 9 מספרים שכל אחד מהם מורכב רק מספרות 0 ו7. 
  א. טורקוויץ' 

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה הוכחה ודוגמה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 3

• שאלה

  נתונה טבלה בגודל `29×29`, שבמשבצות שלה כתובים כל המספרים השלמים מ-`1` עד `29`, כל אחד `29` פעמים בדיוק. ידוע כי סכום כל המספרים הכתובים מעל האלכסון הראשי גדול מסכום כל המספרים מתחת לאלכסון הראשי בדיוק פי שלוש. איזה מספר כתוב במשבצת המרכזית של הטבלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות בעיות מינימום ומקסימום

• חיידקים במבחנה

  למדען יש מבחנה ובתוכה חיידקים. כל שנייה כל אחד מהחיידקים מתפצל לשניים. בעוד שעתיים המבחנה הייתה מלאה בחיידקים עד הסוף. כמה זמן לפני זה המבחנה הייתה מלאה בדיוק עד לחצי?

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> בעיות מילוליות -> פתרון בעיות מילוליות "מהסוף"

• שאלה

  חשבו את הסכום:

  `1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(99*100)`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה

  חשבו את המכפלה:

  `(1-1/2)(1-1/3)(1-1/4)*...*(1-1/100)`

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה

  חשבו את המכפלה:

  `(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)*...*(1-1/225)`

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה

  חשבו את ערך הביטוי (ללא מחשבון):

  `(1+1/(2^2-1))(1+1/(3^2-1))(1+1/(4^2-1))*...*(1+1/(99^2-1))`

  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה

  חשבו את ערך הביטוי (ללא מחשבון):

  `(2^3-1)/(2^3+1)*(3^3-1)/(3^3+1)*(4^3-1)/(4^3+1)*...*(100^3-1)/(100^3+1)`

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר אלגברה -> סדרות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים