תשע תיבות האוצר

החידה הבאה תמחיש את החשיבות של היכולת לקבוע את הגבולות המינימליים והמקסימליים של מספר נדרש. לעתים קרובות ניתן לעשות זאת. לדוגמה, טרם התברר בכמה דרכים שונות ניתן לבצע את מסע הפרש על לוח השחמט; אבל אנו יודעים שזה פחות ממספר הצירופים של `168` דברים שנלקחו `63` בכל פעם ויותר מ-`31,054,144`—כי האחרון הוא מספר המסלולים מסוג מסוים. או, כדי לקחת מקרה מוכר יותר, אם תשאל אדם כמה מטבעות יש לו בכיס, הוא עשוי לומר לך שאין לו מושג קלוש. אבל בחקירה נוספת תוציא ממנו הצהרה כגון: "כן, אני בטוח שיש לי יותר משלושה מטבעות, ובאותה מידה בטוח שאין כל כך הרבה כמו עשרים וחמישה." כעת, הידיעה שמספר מסוים נמצא בין `2` ל-`12` בחידה שלי תאפשר לפותר למצוא את התשובה המדויקת; ללא מידע זה יהיה מספר אינסופי של תשובות, מהן לא ניתן יהיה לבחור את הנכונה.

זוהי חידה נוספת שהתקבלה מחברי דון מנואל רודריגז, הקמצן התמהוני של ניו קסטיליה. בערב ראש השנה האזרחית בשנת `1879` הוא הראה לי תשע תיבות אוצר, ולאחר שהודיע לי שכל תיבה הכילה מספר ריבועי של דובלונים מוזהבים, ושההפרש בין תכולת A ו-B היה זהה לזה שבין B ו-C, D ו-E, E ו-F, G ו-H, או H ו-I, הוא ביקש ממני לומר לו את מספר המטבעות בכל אחת מהקופסאות. בהתחלה חשבתי שזה בלתי אפשרי, שכן יהיה מספר אינסופי של תשובות שונות, אבל לאחר מחשבה גיליתי שזה לא המקרה. גיליתי שבעוד שכל תיבה הכילה מטבעות, התכולה של A, B, C גדלה במשקל בסדר אלפביתי; כך גם D, E, F; וכך גם G, H, I; אבל D או E לא צריכים להיות כבדים יותר מ-C, וגם G או H לא צריכים להיות כבדים יותר מ-F. כמו כן, היה ברור לחלוטין שתיבה A לא יכולה להכיל יותר מתריסר מטבעות מבחוץ; ייתכן שלא יהיה חצי מהמספר הזה, אבל הייתי בטוח שלא היו יותר משנים עשר. עם הידע הזה הצלחתי להגיע לתשובה הנכונה.

בקיצור, עלינו לגלות תשעה מספרים ריבועיים כך ש-A, B, C; ו-D, E, F; ו-G, H, I הן שלוש קבוצות בסדרה חשבונית, כאשר ההפרש הקבוע זהה בכל קבוצה, ו-A קטן מ-`12`. כמה דובלונים היו בכל אחת מתשע התיבות?