תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 1

• שאלה

  מספרים חיוביים a,b,c,d מקיימים `a^3 + b^3 +c ^3 + d^3 >= 3` וגם `a^5 + b^5 +c ^5 + d^5 <= 5`

  הוכיחו כי`a + b +c + d >= 3 / 2`

   

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים

• שאלה

  צלעות המשולש a,b,c ואורכי התיכונים המתאימים הם `m_a , m_b, m_c` הראו כי

  `sum_{cyc} m_a / a >= {3( m_a + m_b + m_c)} /{a + b + c}`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> אי שוויונים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש

• שאלה

  לכל `a,b,c >=1 ` שמקיימים `a+b+c= 2abc `

  הוכח כי `root (3) ((a+b+c)^2) >= sum_{cyc} root (3) (ab-1) `

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים