גאומטריה, גאומטריה במישור, אי שוויון המשולש

משפט אי-שוויון המשולש קובע שבכל משולש, סכום אורכיהן של כל שתי צלעות חייב להיות גדול מאורך הצלע השלישית או שווה לה. שאלות כוללות קביעה האם אורכים נתונים יכולים ליצור משולש או מציאת תחומים לאורך צלע.

• שאלה

  נתון ישר `l` ושתי נקודות `A,B` במרחקים שונים מהישר. מצאו על הישר את הנקודה `C` עבורה ההפרש בין אורכי הקטעים `AC,AB` הוא הגדול ביותר.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 3

• שאלה

  במישור נתונים ריבוע ונקודה `P`. הוכיחו כי לא יתכן שהמרחקים מ-`P` עד הקודקוקים של הריבוע שווים `1`, `1`, `2` ו-`3` סנטימטרים?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש

• שאלה

  צלעות המשולש a,b,c ואורכי התיכונים המתאימים הם `m_a , m_b, m_c` הראו כי

  `sum_{cyc} m_a / a >= {3( m_a + m_b + m_c)} /{a + b + c}`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> אי שוויונים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 1

• אורכי צלעות משולש

  יהי `n > 2` מספר שלם, ויהיו ` t_1,t_2,...,t_n` מספרים ממשיים חיוביים כך ש

  `(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`

  הוכח כי לכל i,j,k כך ש- `1<=i<j<k<=n`, שלשת המספרים `t_i,t_j,t_k` הם אורכי הצלעות של משולש.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 5

• שבילים בפארק משולש

  בפארק יש 3 שבילים ישרים שיוצרים משולש (אין שבילים נוספים). הכניסות לפארק הן באמצעי השבילים, ובכל קודקוד של המשולש תלוי פנס. מכל כניסה מדדו את מרחק ההליכה הקצר ביותר, לאורך שבילי הפארק, עד הפנס בפינה הנגדית. התברר כי 2 מבין 3 המרחקים שווים זה לזה. האם המשולש בהכרח שווה-שוקיים?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 3