אלגברה, אי שוויונים, ממוצעים

ממוצעים הם מדדי מרכז עבור קבוצת מספרים. סוגים נפוצים כוללים ממוצע חשבוני (סכום חלקי מספר האיברים), ממוצע הנדסי וממוצע הרמוני. שאלות כוללות חישובם, פתרון בעיות מילוליות עם ממוצעים, והבנת תכונותיהם והשוואות ביניהם.

• שאלה

  שוקי הלך במשך 3.5 שעות. בכל פרק זמן של שעה הוא עבר 5 ק"מ. האם נובע מכך שמהירותו הממוצעת של שוקי במשך הזמן כל הזמן הזה הינה 5 ק"מ לשעה? 

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים

• שאלה

  האם תוכלו למצוא `35` מספרים שלמים שהממוצע שלהם שווה ל-`6.35`?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה -> ספירה כפולה אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  סכומם של כמה מספרים שווה ל-`1`. האם יתכן כי סכום הריבועים שלהם קטן מעשירית?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> שברים אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  נתון לוח בגודל `M times N`, ובכל משבצות הלוח כתובים מספרים ממשיים. ידוע כי הסכומים בכל שורה ובכל עמודה של הלוח שווים ל-`1`.

  הוכיחו כי `M = N`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> ספירה כפולה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים

• שאלה

  נתונה טבלה בגודל `29×29`, שבמשבצות שלה כתובים כל המספרים השלמים מ-`1` עד `29`, כל אחד `29` פעמים בדיוק. ידוע כי סכום כל המספרים הכתובים מעל האלכסון הראשי גדול מסכום כל המספרים מתחת לאלכסון הראשי בדיוק פי שלוש. איזה מספר כתוב במשבצת המרכזית של הטבלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה

  מספרים חיוביים a,b,c,d מקיימים `a^3 + b^3 +c ^3 + d^3 >= 3` וגם `a^5 + b^5 +c ^5 + d^5 <= 5`

  הוכיחו כי`a + b +c + d >= 3 / 2`

   

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 1

• שאלה

  לכל `a,b,c >=1 ` שמקיימים `a+b+c= 2abc `

  הוכח כי `root (3) ((a+b+c)^2) >= sum_{cyc} root (3) (ab-1) `

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 1

• ממוצע הממוצעים

  נתבונן בתרשים הבא:

  

  כל מספר בתרשים, שמחובר ל-4 מספרים אחרים, חייב להיות שווה לממוצע שלהם:
  מהו המספר בעיגול שמסומן בסימן שאלה?
  הערה: ממוצע של ארבעה מספרים זה הסכום שלהם חלקי 4.

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ה-ו שאלה 1

• ממוצע הממוצעים 2

  נתבונן בתרשים הבא:

  

  כל מספר בתרשים, שמחובר ל-4 מספרים אחרים, חייב להיות שווה לממוצע שלהם:
  מהו המספר בעיגול שמסומן בסימן שאלה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 1

• ממוצע הממוצעים 3

  נתבונן בתרשים הבא:

  

  כל מספר בתרשים, שמחובר ל-4 מספרים אחרים, חייב להיות שווה לממוצע שלהם:
  מהו המספר בעיגול שמסומן בסימן שאלה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 1