הוכחה ודוגמה, בניית דוגמה
נושא זה כולל מציאת מקרה ספציפי המקיים קבוצת תנאים נתונה (דוגמה) או כזה המפריך טענה כללית (דוגמה נגדית). זוהי מיומנות חיונית להבנת טענות מתמטיות. שאלות מבקשות ישירות בנייה כזו.
-
שאלה
מהו המספר השש-ספרתי הקטן ביותר שכל ספרותיו שונות?
מקורות: -
שאלה
לשלושה קיפודים יש שלוש חתיכות גבינה של `5`, `8` ו-`11` גרם. שועל מציע לקיפודים לעזור להם לחלק את הגבינה שווה בשווה. הפעולה שהשועל יכול לעשות זה לנגוס גרם אחד מכל אחת משתי חתיכות גבינה לבחירתו. האם השועל יוכל להגיע בעזרת פעולות אלו למצב בו הוא ישאיר לשלושה הקיפודים חתיכות שוות של גבינה?
מקורות:נושאים:אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה -
שאלה
האם תוכלו לחלק `24` קילו של מסמרים לשני חלקים של `15` ו-`9` קילו בעזרת מאזני כף ללא משקולות?
-
השרשרת הקרועה
יש חמישה קטעים של שרשרת שנקרעה, שלוש חוליות בכל קטע. משה רוצה לתקן את השרשרת. מהו המספרי המינימלי של חוליות שהוא צריך לפתוח ולסגור בחזרה כדי לאחד את כל הקטעים האלה ביחד?
הערה: השרשרת אינה מעגלית!
-
שאלה
האם ניתן לסדר את כל המספרים מ-`1` עד `100` בשורה כך שהפרש בין כל שני מספרים סמוכים יהיה לפחות `50`? אם כן – הביאו דוגמה, אם לא – הוכיחו למה.
מקורות: -
שאלה
תהי M קבוצה של נקודות במישור. O נקרא מרכז סימטרייה חלקי אם אפשר לזרוק מ-M נקודה כך ש-O יהיה מרכז סימטרייה רגיל של מה שנותר. כמה מרכזי סימטרייה חלקיים יכולים להיות לקבוצת נקודות סופית במישור?
ו. פראסולובמקורות:נושאים:קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה- תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 2 נקודות 7
-
זאב וכבשים
המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – 50 כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת?
מקורות:נושאים:קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת המשחקים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה- תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 5 נקודות 16
-
מספר קסום 15
יוסי רושם על הלוח את המספר `15`. אחרי זה דני מוסיף למספר הכתוב על הלוח ספרה אחת מימין וספרה אחת משמאל, כך שהמספר החדש עדיין מתחלק ב-`15`.
מצאו את המספר הזה. האם יש רק אפשרות אחת?
הערה: הספרה שמוסיפים משמאל אינה אפס.
מקורות:נושאים:תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-5 וב-25 תורת המספרים -> חלוקה -
שאלה
מצאו חמישה מספרים טבעיים שסכומם `20`, ומכפלתם `420`.
מקורות:נושאים:תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים -
שאלה
על הלוח כתוב המספר `458`. בכל מהלך בודד מותר או להכפיל את המספר שכתוב על הלוח פי `2`, או למחוק את הספרה האחרונה שלו.
האם אפשר בעזרת הפעולות האלו לקבל את המספר `14`?
מקורות:נושאים:אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים