הוכחה ודוגמה
קטגוריה זו מדגישה את הפעילויות המתמטיות המרכזיות של בניית טיעונים קפדניים (הוכחות) לקביעת אמיתות כלליות, ושימוש במקרים ספציפיים (דוגמאות) להמחשת מושגים, בדיקת השערות או מציאת דוגמאות נגדיות. שאלות עשויות לבקש אחד מהם או את שניהם.
בניית דוגמה הוכחה בשלילה-
שאלה
הוכיחו לי לכל מספר ראשוני `p>3 ` מתקיים:`p^2-1` מתחלק ב-`6`.
נושאים:תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים -
שאלה
הוכח כי כל מספר ממשי אפשר לרשום כסכום 9 מספרים שכל אחד מהם מורכב רק מספרות 0 ו7.
מקורות:
א. טורקוויץ' -
שאלה
הוכיחו כי מכפלה של שני מספרים עוקבים תמיד זוגית.
-
שאלה
נתון מספר ממשי `a` כך ש-`a+1/a` מספר שלם. הוכיחו כי גם `a^2+1/a^2` מספר שלם.
-
שאלה
נתון מספר ממשי `a` כך ש-`a+1/a` מספר שלם. הוכיחו כי גם `a^n+1/a^n` שלם לכל `n` טבעי.
נושאים:תורת המספרים קומבינטוריקה -> אינדוקציה אלגברה -> טכניקה אלגברית הוכחה ודוגמה אלגברה -> סדרות -
שאלה
שני משולשים חופפים יוצרים מגן דויד כמו שמתואר בציור. הוכיחו כי השטח המושחר שווה לשטח המקווקו.
נושאים:גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה תורת הקבוצות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים -
שאלה
האם תוכלו לחתוך את הצורה שבצד שמאל לשש צורות כמו הצורה בצד ימין?
נושאים:קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> התאמות הוכחה ודוגמה קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות -
שאלה
הוכיחו כי סכום של שני מספרים עוקבים תמיד אי זוגי.
-
שאלה
נתונים שני מספרים כך שאחד מהם מתקבל מהשני על ידי שינוי סדר ספרות. הוכיחו כי ההפרש שלהם מתחלק ב-`9`.
נושאים:תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית -
שאלה
נתון מספר טבעי `n` שגדול מסכום ספרותיו פי שלוש. הוכיחו כי `n` מתחלק ב-`27`.