אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז

• שאלה 1

  `a,b` הם שני מספרים טבעיים שונים. סכום המחלקים של כל אחד מהם שווה לאותו מספר טבעי `n`. מהו הערך הקטן ביותר האפשרי של `n`?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה 2 - מטבעות ועוגות

  למרים יש מטבעות של שני שקלים ושל 5 שקלים.

  אם היא תשלם רק במטבעות של 2 שקלים, יהיו חסרים לה 60 שקל לקניית 4 עוגות.

  אם היא תשלם רק במטבעות של 5 שקלים, יהיו חסרים לה 60 שקל לקניית 5 עוגות.

  בסה"כ חסרים לה 60 שקל לקניית 6 עוגות. כמה עולה עוגה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 3

  נתון ישר `l` ושתי נקודות `A,B` במרחקים שונים מהישר. מצאו על הישר את הנקודה `C` עבורה ההפרש בין אורכי הקטעים `AC,AB` הוא הגדול ביותר.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> אי שוויון המשולש בעיות מינימום ומקסימום

• שאלה 4 - טעות בתרגיל

  הוכיחו שבתרגיל הכפל הבא נפלה טעות

  \(\begin{array}& & & * & * & * & 2 & 7 \\ \times & & & & & * & * \\ \hline & * & * & * & * & * & 6 \\ + & * & * & * & * & * & \\ \hline & * & * & * & * & 4 & 6 \end{array}\)

  נושאים:

  אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה תורת המספרים -> חלוקה חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל

• שאלה 5 - 5 מעלות בשעון

  באיזה שעה יש זווית 5 מעלות בין מחוגי השעון?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• שאלה 6

  כמה פתרונות במספרים טבעיים יש למשוואה `(2013 - x)(2013-y)=2013^2` ?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות