几何学, 平面几何学, 三角形不等式

三角形不等式定理指出，对于任何三角形，任意两边长度之和必须大于或等于剩余边的长度。问题涉及确定给定长度是否能构成三角形或寻找边长的界限。

• 问题

  给定一条直线 `l` 和两个点 `A,B`，它们与该直线的距离不同。在直线上找到点 `C`，使得线段 `AC` 和 `AB` 的长度之差最大。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 三角形不等式 最小值和最大值问题/优化问题
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2013, Grade 7 问题 3

• 问题

  在平面上给出一个正方形和一个点`P`。证明不可能出现点`P`到正方形的顶点的距离分别为`1`、`1`、`2`和`3`厘米的情况。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形不等式

• 问题

  三角形的边长为 a, b, c，对应的中线长度为 `m_a , m_b, m_c`。证明：

  `sum_{cyc} m_a / a >= {3( m_a + m_b + m_c)} /{a + b + c}`

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  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 代数学 -> 不等式 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形不等式
  来源：
  • Mink Exercises and Additional Competition Materials, 2018-2019, Exercise 1

• 三角形的边长

  设 `n > 2` 为整数，且 ` t_1,t_2,...,t_n` 为正实数，满足

  `(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`

  证明对于所有 i,j,k 满足 `1<=i<j<k<=n`，数集 `t_i,t_j,t_k` 均为某个三角形的边长。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 代数学 -> 不等式 证明与示例 -> 反证法 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形不等式
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 5

• 三角形公园的小路

  在一个公园里，有3条直线小路构成一个三角形（没有其他小路）。公园的入口位于每条小路的中间，并且在三角形的每个顶点都悬挂着一盏灯。从每个入口处测量沿公园小路到对面顶点的灯的最短步行距离。结果发现，3个距离中有2个彼此相等。三角形一定是等腰三角形吗？

  

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 证明与示例 -> 构造示例/反例 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形不等式
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2017, Grade 8 问题 3