Grossman Math Olympiad, 2017

Juniors Seniors

• 来自来源的问题：Juniors(1) - 矩形的增大

  给定一个平面上的矩形。是否有可能在矩形的每条边都增加 1 厘米后，面积增加 1 平方米？请给出一个例子或证明这是不可能的。

  （如果矩形是 1x5，那么它变成 2x6，并且任何边都不能为 0）

  显示提示

  请在此登录以获取提示
  主题：

  几何学 -> 面积计算 代数学 -> 方程 代数学 -> 应用题
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2017, Juniors 问题 1

• 来自来源的问题：Juniors(2) - 整数系数？

  已知实数 a,b,c 使得对于每个整数 x，数 `ax^2+bx+c` 是整数。 这是否一定意味着 a,b,c 都是整数？ 证明成立或提供反例。

  显示提示

  请在此登录以获取提示
  主题：

  代数学 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 构造示例/反例
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2017, Juniors 问题 2

• 来自来源的问题：Juniors(3) - 分阶段均衡

  黑板上写着数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，大卫应该分阶段改变它们。在每个阶段，大卫可以选择两个数字并改变它们 1，即给两者都加 1，从两者都减 1，或者给一个加 1，从另一个减 1。

  经过若干阶段后，大卫能否达到黑板上所有数字都相等的状态？ 如果可以，请举例说明，如果不能，请详细解释你的答案。

  显示提示

  请在此登录以获取提示
  主题：

  组合数学 -> 不变量 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2017, Juniors 问题 3

• 来自来源的问题：Juniors(4) - 政府选举

  在某个国家的议会选举中，有若干政党参与（数量未知）。每位参与选举的公民都投票给了一个政党。

  对于每个正整数 k，用 `d_k` 表示获得 k 票或更多票数的政党数量。证明总和 `d_1+d_2+d_3+...` 等于参与选举投票的公民人数。

  显示提示

  请在此登录以获取提示
  主题：

  组合数学 -> 归纳法（数学归纳法）
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2017, Juniors 问题 4