תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025
מטלה 1-
שאלה מהמקורות: מטלה 1(1) - משוואות ריבועיות
פתרו את המשוואות:
א:`({x^2+6}/{x^2-4})^2=({5x}/{4-x^2})^2`
ב: `7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9`
ג: `sqrt{x+2sqrt{x-1}}-sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2`
מקורות: -
שאלה מהמקורות: מטלה 1(2) - שורשים מחולקים
מצאו את הסכום `1/{sqrt1+sqrt2}+1/{sqrt2+sqrt3}+...+1/{sqrt99+sqrt100}`.
מקורות: -
שאלה מהמקורות: מטלה 1(3) - יחסי התשובות של משוואות ריבועיות
נתונה משוואה ריבועית `ax^2+bx+c=0` ופתרונותיה הם `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`.
א: הראו שמתקיימות משוואות וייאטה:`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`.
ב: הביעו את הביטויים הבאים במונחי a,b,c: `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}` `1/x_1+1/x_2, ` `x_1^3+x_2^3,` `x_1^2+x_2^2`.
מקורות: -
שאלה מהמקורות: מטלה 1(4) - פירוק ושימוש בנוסחה
נוסחה מענינת היא `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`.
א: היעזרו בה ופרקו לגורמים את הביטוי `a^n-b^n`.
ב: פרקו לגורמים את הביטוי `a^n+b^n` ל n אי זוגי כלשהו.
ג: הוכיחו שאם `2^n-1` ראשוני אז גם n ראשוני.
ד: הוכיחו שאם `2^n+1` ראשוני אז n בהכרח חזקה של 2 שזה שקול ל `n=2^m`
מקורות:נושאים:אלגברה -> טכניקה אלגברית תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה -
שאלה מהמקורות: מטלה 1(5) - חילוק סופי
מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.
מקורות:נושאים:תורת המספרים -> חשבון השאריות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות -
שאלה מהמקורות: מטלה 1(6) - ביטוי שלם
מצאו את כל ה n השלמים עבורם הביטוי `{(n+2)^4}/{n-1}` מוגדר ושלם.
מקורות: