תורת המספרים, מספרים ראשוניים, פרוק לגורמים ראשוניים

פירוק לגורמים ראשוניים הוא תהליך של הבעת מספר פריק כמכפלה ייחודית של מספרים ראשוניים. שאלות כוללות מציאת הפירוק לגורמים ראשוניים של מספרים שלמים ושימוש בו לקביעת תכונות כמו מספר המחלקים, מחלק משותף מקסימלי או כפולה משותפת מינימלית.

• שאלה

  מצא את כל הפתרונות השלמים `(k>1) y^k=x^2+x`

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 1 נקודות 3

• שאלה

  מצאו חמישה מספרים טבעיים שסכומם `20`, ומכפלתם `420`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הציגו את המספר `203` כמכפלה של כמה מספרים טבעיים השונים מ-`203`, כך שגם הסכום של המספרים האלה יהיה שווה ל-`203`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  האם קיים ריבוע שלם שסכום ספרותיו שווה ל-`2001`?

  נמקו או הביאו דוגמה!

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  ידוע כי לכל מספר ראשוני יש שני מחלקים – `1` והמספר עצמו. ולאילו מספרים יש בדיוק שלושה מחלקים?

  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  על הלוח רשום מספר `100`. מצאו ספרה שמקיימת את התנאי הבא:

  אם נוסיף אותה לרישום של המספר הכתוב על הלוח פעם אחת משמאל ופעם אחת מימין, נקבל מספר שמתחלק ב-`12`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-2, 4 ו-8 תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  הוכיחו כי מכפלה של שלושה מספרים עוקבים מתחלקת ב-`6`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  הוכיחו כי מכפלה של ארבעה מספרים עוקבים מתחלקת `24`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  הוכיחו לי לכל מספר ראשוני `p>3 ` מתקיים:`p^2-1` מתחלק ב-`6`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> נוסחאות כפל מקוצר תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים

• שאלה

  `a,b` הם שני מספרים טבעיים שונים. סכום המחלקים של כל אחד מהם שווה לאותו מספר טבעי `n`. מהו הערך הקטן ביותר האפשרי של `n`?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 1