תרגילי הנבחרת הצעירה למדעים, 2024-2025, מטלה 1

• שאלה 1 - משוואות ריבועיות

  פתרו את המשוואות:

  א:`({x^2+6}/{x^2-4})^2=({5x}/{4-x^2})^2`

  ב: `7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9`

  ג: `sqrt{x+2sqrt{x-1}}-sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2`

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים

• שאלה 2 - שורשים מחולקים

  מצאו את הסכום `1/{sqrt1+sqrt2}+1/{sqrt2+sqrt3}+...+1/{sqrt99+sqrt100}`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים

• שאלה 3 - יחסי התשובות של משוואות ריבועיות

  נתונה משוואה ריבועית `ax^2+bx+c=0` ופתרונותיה הם `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`.

  א: הראו שמתקיימות משוואות וייאטה:`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`.

  ב: הביעו את הביטויים הבאים במונחי a,b,c: `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}`  `1/x_1+1/x_2, `  `x_1^3+x_2^3,`  `x_1^2+x_2^2`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות

• שאלה 4 - פירוק ושימוש בנוסחה

  נוסחה מענינת היא `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`.

  א: היעזרו בה ופרקו לגורמים את הביטוי `a^n-b^n`.

  ב: פרקו לגורמים את הביטוי `a^n+b^n` ל n אי זוגי כלשהו.

  ג: הוכיחו שאם `2^n-1` ראשוני אז גם n ראשוני.

  ד: הוכיחו שאם `2^n+1` ראשוני אז n בהכרח חזקה של 2 שזה שקול ל `n=2^m`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה 5 - חילוק סופי

  מצאו את כל ה x,y,z,w השלמים שמקיימים `x^2+y^2=3z^2+3w^2 `.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה 6 - ביטוי שלם

  מצאו את כל ה n השלמים עבורם הביטוי `{(n+2)^4}/{n-1}` מוגדר ושלם.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות