Junior Science Team Exercises, 2024-2025

• 来自来源的问题：Assignment 1(1) - 二次方程

  解下列方程：

  甲：`({x^2+6}/{x^2-4})^2=({5x}/{4-x^2})^2`

  乙： `7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9`

  丙： `sqrt{x+2sqrt{x-1}}-sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2`

  主题：

  代数学 -> 方程 代数学 -> 代数技巧 -> 根/根式
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 1

• 来自来源的问题：Assignment 1(2) - 根式的除法

  求和 `1/{sqrt1+sqrt2}+1/{sqrt2+sqrt3}+...+1/{sqrt99+sqrt100}`。

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  主题：

  代数学 -> 代数技巧 -> 裂项求和 代数学 -> 代数技巧 -> 根/根式
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 2

• 来自来源的问题：Assignment 1(3) - 二次方程的根的关系

  给定二次方程 `ax^2+bx+c=0` ，其解为 `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`。

  甲：证明韦达定理：`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`。

  乙：用a，b，c表示以下表达式： `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}`  `1/x_1+1/x_2, `  `x_1^3+x_2^3,`  `x_1^2+x_2^2`。

  主题：

  代数学 -> 代数技巧 代数学 -> 方程
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 3

• 来自来源的问题：Assignment 1(4) - 分解和公式的应用

  一个有趣的公式是 `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`。

  a: 利用此公式分解表达式 `a^n-b^n`。

  b: 当 n 为任意奇数时，分解表达式 `a^n+b^n`。

  c: 证明如果 `2^n-1` 是素数，那么 n 也是素数。

  d: 证明如果 `2^n+1` 是素数，那么 n 必然是 2 的幂，这等价于 `n=2^m`

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  主题：

  代数学 -> 代数技巧 数论 -> 素数 -> 素因数分解 证明与示例 -> 反证法
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 4

• 来自来源的问题：Assignment 1(5) - 有限除法

  找出所有满足 `x^2+y^2=3z^2+3w^2 ` 的整数 x, y, z, w.

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  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 证明与示例 -> 反证法 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 5

• 来自来源的问题：Assignment 1(6) - 整数表达式

  找出所有使表达式 `{(n+2)^4}/{n-1}` 有定义且为整数的整数 n。

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  主题：

  数论 代数学 -> 方程
  来源：
  • Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1 问题 6