Junior Science Team Exercises, 2024-2025, Assignment 1
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问题 1 - 二次方程
解下列方程：
甲：`({x^2+6}/{x^2-4})^2=({5x}/{4-x^2})^2`
乙： `7(x+1/x)-2(x^2+1/x^2)=9`
丙： `sqrt{x+2sqrt{x-1}}-sqrt{x-2sqrt{x-1}}=2`
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问题 2 - 根式的除法
求和 `1/{sqrt1+sqrt2}+1/{sqrt2+sqrt3}+...+1/{sqrt99+sqrt100}`。
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问题 3 - 二次方程的根的关系
给定二次方程 `ax^2+bx+c=0` ，其解为 `x_{1,2}={-b+-sqrt{b^2-4ac}}/{2a}`。
甲：证明韦达定理：`x_1x_2=c/a` `x_1+x_2=-b/a,`。
乙：用a，b，c表示以下表达式： `1/{x_1^2}+1/{x_2^2}` `1/x_1+1/x_2, ` `x_1^3+x_2^3,` `x_1^2+x_2^2`。
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问题 4 - 分解和公式的应用
一个有趣的公式是 `x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1)`。
a: 利用此公式分解表达式 `a^n-b^n`。
b: 当 n 为任意奇数时，分解表达式 `a^n+b^n`。
c: 证明如果 `2^n-1` 是素数，那么 n 也是素数。
d: 证明如果 `2^n+1` 是素数，那么 n 必然是 2 的幂，这等价于 `n=2^m`
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问题 5 - 有限除法
找出所有满足 `x^2+y^2=3z^2+3w^2 ` 的整数 x, y, z, w.
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问题 6 - 整数表达式
找出所有使表达式 `{(n+2)^4}/{n-1}` 有定义且为整数的整数 n。