קומבינטוריקה, מקדמים בינומיים ומשולש פסקל

מקדמים בינומיים, המסומנים `\binom{n}{k}`, סופרים את מספר הדרכים לבחור `k` פריטים מקבוצה של `n` פריטים. משולש פסקל הוא מערך משולש של מקדמים אלו עם תכונות מעניינות רבות. שאלות כוללות חישוב מקדמים, יישום הבינום של ניוטון ושימוש בתכונות של משולש פסקל.

• שאלה

  `101` נקודות ממוקמות על מעגל. אילו מצולעים בעלי קודקודים בנקודות האלו יש יותר – מצולעים עם `51` צלעות או מצולעים עם `50` צלעות?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל קומבינטוריקה -> התאמות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים

• שאלה

  קניבל לכד `6` אנשים.

  א. בכמה דרכים שונות הוא יכול לבחור בן אדם אחד לארוחת בוקר, בן אדם אחד לארוחת צהריים ובן אדם אחד לארוחת ערב?

  ב.בכמה דרכים שונות הוא יכול לבחור שלושה בני אדם כדי לשחרר אותם?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל קומבינטוריקה -> כלל המכפלה תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה

  מכשף זימן אליו `20` אבירים, שמתוכם `10` אלפים ו-`10` גמדים. המכשף רוצה לבחור מתוכם צוות שיבצע משימה סודית. על הצוות הזה להכיל כמויות שוות של אלפים וגמדים.

  כמה יש אפשרויות לצוות כזה? (שימו לב הוא לא יכול לבחור צוות ריק)

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל תורת הקבוצות

• טיול במישור

  נתונה במישור מערכת צירים x-y. יש להגיע מהנקודה (1,0) אל הנקודה (2006,2005), כאשר בכל מהלך מותר לנוע יחידה אחת מעלה (בכיוון החיובי של y) או יחידה אחת ימינה (בכיוון החיובי של ציר א).

  א. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה?

  ב. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה אם אסור באף שלב לעבור דרך נקודה הנמצאת על הישר x=y?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 7

• חידה לחופשת בנק

  שני חברים בילו את חופשת הבנק שלהם בטיול אופניים. הם עצרו למנוחה בפונדק כפרי, והתייעצו במפת מסלולים, המיוצגת באיור שלנו בצורה פשוטה ביותר, מכיוון שהחידה מעניינת מספיק גם בלי כל המורכבויות המקוריות. הם התחילו מהעיר בפינה השמאלית העליונה המסומנת באות A. ניתן לראות שיש מאה ועשרים ערים כאלה, שכולן מחוברות בכבישים ישרים. כעת הם גילו שיש בדיוק `1,365` מסלולים שונים שבהם הם יכולים להגיע ליעדם, תמיד בנסיעה דרומה או מזרחה. החידה היא לגלות איזו עיר היא היעד שלהם. כמובן, אם תגלו שיש יותר מ-`1,365` מסלולים שונים לעיר, היא לא יכולה להיות הנכונה.
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 253