קומבינטוריקה, גאומטריה קומבינטורית

גאומטריה קומבינטורית בוחנת את הקשרים בין קומבינטוריקה לגאומטריה. היא עוסקת בבעיות על סידורים, תצורות ותכונות של אובייקטים גאומטריים בדידים (נקודות, קווים, מצולעים). שאלות כוללות לעיתים קרובות ספירה, הוכחות קיום ואי-שוויונים גאומטריים.

• שאלה

  על המעגל נתונות נקודות כחולות ואדומות. מותר להוסיף נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה או להסיר נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה בעבר (אסור להשאיר פחות מ-2 נקודות על המעגל). הוכח/י כי אי אפשר להעביר רק ע"י הפעולות האלה מעגל עם שתי נקודות אדומות למעגל עם שתי נקודות כחולות.
  ק. קזרנובסקי

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 1

• שאלה

  האם ניתן לרצף לוח `5xx5` על ידי אבני דומינו?

  הערה: גודל של משבצת הלוח תואם לגודל המשבצת של דומינו.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

• שאלה

  במרחב נתונים 30 וקטורים לא מנוונים. הוכח כי יש לפחות 2 שהזווית ביניהם היא לא גדולה מ- 45 מעלות. 
  א. טולפיגו

  נושאים:

  גאומטריה -> טריגונומטריה גאומטריה -> גאומטריה על כדור קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 4

• שאלה

  תהי M קבוצה של נקודות במישור. O נקרא מרכז סימטרייה חלקי אם אפשר לזרוק מ-M נקודה כך ש-O יהיה מרכז סימטרייה רגיל של מה שנותר. כמה מרכזי סימטרייה חלקיים יכולים להיות לקבוצת נקודות סופית במישור? 
  ו. פראסולוב 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 2 נקודות 7

• זאב וכבשים

  המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – 50 כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת? 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים קומבינטוריקה -> תורת המשחקים הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 5 נקודות 16

• שאלה

  עש עשה `15` חורים נקודתיים בשטיח שגודלו `4xx4` מטרים. האם תמיד ניתן לגזור מהשטיח המקורי שטיחון בגודל `1xx1` מטר כך שלא יהיה בו חורים?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  נגיד ששתי פירמידות משיקות זו לזו אם אין להן נקודות פנימיות משותפות והן נחתכות במצולע מישורי לא מנוון. האם ייתכן ש 8 פירמידות במרחב ישיקו כולם אחת לשנייה? 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה גאומטריה -> גאומטריה במרחב -> פאונים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 1 נקודות 7

• שאלה

  המשחק מתבצע על מישור אינסופי. שחקן אחד מזיז את הזאב ושחקן אחר – K כבשים. לאחר מהלך של זאב אחת הכבשים עושה מהלך אחר כך שוב זאב וכך הלאה. במהלך אחד הזאב או הכבשה לא הולכים יותר ממטר אחד לכל צד. האם בכל מצב התחלתי הזאב יוכל לתפוס לפחות כבשה אחת? 

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים גאומטריה -> גאומטריה במישור לוגיקה -> הגיון הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות י"א-י"ב שאלה 2

• ערימת דפים

  על השולחן נמצאים מספר דפי נייר זהים שצורתם מלבן. ידוע כי הדף העליון מכסה יותר מחצי שטח של כל דף אחר.  האם בהכרח ניתן לתקוע בשולחן הזה סיכה שתעבור דרך כל הדפים האלה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה

• שאלה

  במישור מצוירים מספר ישרים ומעגלים. הוכיחו שניתן לצבוע את האזורים שאליהם חולק המישור בשני צבעים כך שאזורים שכנים (כאלה שיש להם קטע או קשת משותפים) יהיו צבועים בצבעים שונים.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינדוקציה גאומטריה -> גאומטריה במישור קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות