组合数学, 二项式系数和帕斯卡三角形
二项式系数，表示为`\binom{n}{k}`，计算从`n`个项目中选择`k`个项目的方式数量。帕斯卡三角形是这些系数的三角形阵列，具有许多有趣的性质。问题涉及计算系数，应用二项式定理，以及使用帕斯卡三角形的性质。
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问题
在圆上有`101`个点。在这些点上，顶点是多边形，拥有`51`条边的多边形更多，还是拥有`50`条边的多边形更多？
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问题
一个食人族抓住了`6`个人。
a. 他有多少种不同的方式选择一个人吃早餐，一个人吃午餐，一个人吃晚餐？
b. 他有多少种不同的方式选择三个人来释放他们？
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问题
一位巫师召唤了`20`名骑士，其中`10`名是精灵，`10`名是矮人。巫师想从中选择一个队伍来执行一项秘密任务。这个队伍必须包含相同数量的精灵和矮人。
对于这样一个队伍，有多少种可能性？（注意，他不能选择一个空队伍）
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平面上的旅行
给定一个平面直角坐标系 x-y。需要从点 (1,0) 到达点 (2006,2005)，每次移动可以向上（沿 y 轴正方向）移动一个单位，或者向右（沿 x 轴正方向）移动一个单位。
a. 有多少种不同的路径可以完成这个任务？
b. 如果不允许在任何阶段通过位于直线 x=y 上的点，那么有多少种不同的路径可以完成这个任务？
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