תורת הקבוצות

תורת הקבוצות היא תאוריה מתמטית יסודית של קבוצות, או אוספים של אובייקטים. היא עוסקת בפעולות על קבוצות (איחוד, חיתוך, משלים, הפרש), תכונות של קבוצות (עוצמה, תת-קבוצות) ויחסים בין קבוצות. שאלות כוללות דיאגרמות ון, סימון קבוצות ותכונות.

• שאלה

  על המעגל נתונות נקודות כחולות ואדומות. מותר להוסיף נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה או להסיר נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה בעבר (אסור להשאיר פחות מ-2 נקודות על המעגל). הוכח/י כי אי אפשר להעביר רק ע"י הפעולות האלה מעגל עם שתי נקודות אדומות למעגל עם שתי נקודות כחולות.
  ק. קזרנובסקי

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 1

• שאלה

  קבוצה של ילדים הלכו לפארק שעשועים. ידוע כי מספר הבנות שחבשו כובע שווה למספר הבנים שלא חבשו כובע.

  מי יש יותר בקבוצה הזאת: ילדים שלא חבשו כובע או בנות?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• מיצי

  יש הרבה חתולים שקוראים להם מיצי. אז מי יש יותר: חתולים חוץ מהחתולים שלא קוראים להם מיצי, או בעלי חיים בשם מיצי חוץ מאלה שאינם חתולים?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• אורנים ביער

  היַעֲרָן סופר אורנים ביער. הוא עשה הליכה לאורך כל אחד המעגלים שבתמונה, ובתוך כל מעגל הוא ספר `3` אורנים בדיוק. הוכיחו כי היערן בוודאות טעה בספירה.

  

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• החוגים

  בשכבה ה' לומדים `70` ילדים. מתוכם `27` הולכים לחוג תיאטרון, `32` שרים במקהלה, ו-`22` עושים ג'ודו. בחוג תיאטרון יש `10` ילדים מהמקהלה, במקהלה יש `6` ילדים מג'ודו, ובג'ודו יש `8` ילדים שלומדים גם תיאטרון. שלושה ילדים הולכים גם לחוג תיאטרון, גם לג'ודו, גם שרים במקהלה. וכמה ילדים מהשכבה לא לומדים באף חוג משלושה החוגים האלה?

  נושאים:

  אריתמטיקה קומבינטוריקה אלגברה -> בעיות מילוליות תורת הקבוצות

• שאלה

  כל תלמיד בגימנַסיה יודע לפחות אחת משתי השפות העתיקות הבאות: לטינית או יוונית עתיקה. ידוע כי `85%` מכלל התלמידים יודעים לטינית, ו-`75%` יודעים יוונית. מהו האחוז של התלמידים שיודעים את שתי השפות האלו?

  נושאים:

  תורת הקבוצות אריתמטיקה -> אחוזים

• שאלה

  חנה מחכה לאוטובוס. לאיזה משלושה האירועים הבאים יש סיכוי גדול ביותר:

  1. חנה מחכה לאוטובוס לפחות דקה,
  2. חנה מחכה לאוטובוס לפחות שתי דקות,
  3. חנה מחכה לאוטובוס לפחות חמש דקות.
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות תורת ההסתברות

• שאלה

  כמה מספרים בין `1` ל-`100` לא מתחלקים לא ב-`2`, לא ב-`5`?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-2, 4 ו-8 תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-5 וב-25 תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית תורת הקבוצות תורת המספרים -> חלוקה

• השקיית עציצים

  חנה ורחל השקו עציצים בבית. ידוע שכל אחת מהן השקתה בדיוק חצי מכמות העציצים בבית, וידוע גם ששלושה עציצים הושקו פעמיים בטעות. כמה עציצים נשאר להשקות?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות

• שאלה

  שני משולשים חופפים יוצרים מגן דויד כמו שמתואר בציור. הוכיחו כי השטח המושחר שווה לשטח המקווקו.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים הוכחה ודוגמה תורת הקבוצות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים