גאומטריה, גאומטריה במישור, מעגלים

נושא זה מכסה את תכונות המעגלים, כולל רדיוס, קוטר, היקף, שטח, מיתרים, משיקים, חותכים, קשתות וגזרות. שאלות כוללות חישובים הקשורים לאלמנטים אלו והבנת משפטים על זוויות וקטעים במעגלים.

• שאלה

  יהי ABCD מרובע קמור חסום במעגל שאלכסוניו מאונכים זה לזה. O מרכז המעגל. הוכח כי קו שבור AOC מחלק את המרובע לשני חלקים שווי שטח. 
  ו. ווארווארקין 

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 3 נקודות 5

• שאלה

  על מעגל מסומנות `2016` נקודות כחולות ונקודה אדומה אחת. נתבונן בכל המצולעים האפשריים בעלי קודקודים בנקודות האלו. איזה מצולעים יש יותר – כאלה שמכילים את הנקודה האדומה או כאלה שכל הקודקודים שלהם כחולים?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> התאמות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  על הניצבים ועל היתר של משולש ישר זווית נבנו חצאי מעגלים, כמו שמתואר בציור. איזה שטח גדול יותר – השטח המקווקו או השטח המושחר?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס

• שאלה

  `101` נקודות ממוקמות על מעגל. אילו מצולעים בעלי קודקודים בנקודות האלו יש יותר – מצולעים עם `51` צלעות או מצולעים עם `50` צלעות?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל קומבינטוריקה -> התאמות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים

• שאלה

  בציור חצי מעגל, שחסומים בתוכו שלושה מעגלים: המעגל הגדול, שמשיק לקוטר של חצי המעגל במרכזו, ושני מעגלים קטנים בצדדים, בצורה סימטרית. איזה שטח גדול יותר: השטח המקווקו או השטח הריק?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה

• רבע יין-יאנג

  הצורה שבציור בנויה כך: מחלקים את הקוטר של חצי מעגל לשני חלקים שווים, ובונים עליהם כמו על קטרים שני חצאי מעגלים נוספים: אחד כלפי פנים, ושני כלפי חוץ.

  

  חלקו את הצורה לשני חלקים חופפים.

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה

• שאלה

  במרובע אורכי כל האלכסונים וכל הצלעות קטנים מ- 1. הוכח כי ניתן לכסות את המרובע ע"י עיגול ברדיוס 0.9.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים בעיות מינימום ומקסימום
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ב, אביב

• מצולעים משוכללים ועיגולים

  א.

  בציור הימני מופיע ריבוע, שבתוכו נמצאים 4 מעגלים. רדיוסי המעגלים שווים זה לזה, וכל מעגל משיק לשני מעגלים אחרים וגם לשתיים מצלעות הריבוע. מצאו את היחס בין שטח החלק הכחול לשטח החלק הלבן של הריבוע.

  ב.

  בציור השמאלי מופיע משושה, שבתוכו נמצאים 6 מעגלים בעלי רדיוס זהה. כל מעגל משיק לשני מעגלים אחרים וגם לצלע אחת של המשושה, באמצעה. מצאו את היחס בין שטח החלק הכחול לשטח החלק הלבן של המשושה.

   

  

  (פורמט הפתרון: "x, y" למשל "1/8, 7/100")

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ז שאלה 1

• שטח הצורה

  בתמונה, השטח של חצי העיגול שווה ל-1. מצאו את השטח של הצורה הגדולה, אם ידוע, שכל הקווים העקומים בתמונה הם רבעי מעגלים.

  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתה ט שאלה 2

• מקיפים בעיגולים

  נתונים שני משולשים ACE, BDF
  שנחתכים ב-6 נקודות: G,H,I,J,K,L
  כמתואר בציור. נתון כי בכל אחד מהמרובעים
  EFGI ,DELH ,CDKG ,BCJL ,ABIK ניתן לחסום מעגל.
  האם ייתכן שגם במרובע FAHJ ניתן לחסום מעגל?
  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במרחב גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> משוואות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 5