גאומטריה, גאומטריה במישור, סימטריה

סימטריה בגאומטריה מתייחסת לצורה או אובייקט הנשארים ללא שינוי תחת טרנספורמציות מסוימות כמו שיקוף (סימטריה קווית) או סיבוב (סימטריה סיבובית). שאלות כוללות זיהוי סוגי סימטריה, קווי סימטריה ומרכזי/סדרי סיבוב עבור צורות שונות.

• איפה הנקודה?

  במשושה קמור ABCDEF המשולשים
  ACE ו-BDF משוכללים וחופפים. הראו כי
  שלושת הקטעים המחברים את אמצעי
  הצלעות הנגדיות של המשושה נחתכים
  בנקודה אחת.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 3

• שאלה

  בתוך ריבוע ABCD שאורך צלעו 1 סומנה נקודה E, ומחוץ לריבוע נקודה F, כך שהמשולשים ABE ו-DAF משוכללים. חשבו את השטח של המחומש CBEFD.
  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 6

• הפודינג של חג המולד

  "אם כבר מדברים על פודינגים של חג המולד," אמר המארח, כשהוא מביט במעדן המרשים בקצה השני של השולחן. "זה מזכיר לי את העובדה שידיד נתן לי חידה חדשה אתמול בנוגע לאחד כזה. הנה זה," הוא הוסיף, כשהוא צולל לתוך כיס חזה שלו.

  "'הבעיה: למצוא את התכולה,' אני מניח," אמר הנער מאיטון.

  "לא; ההוכחה לכך היא באכילה. אני אקריא לכם את התנאים."

   

  "'חתכו את הפודינג לשני חלקים, כל אחד בדיוק באותו גודל וצורה, מבלי לגעת באף אחד מהשזיפים. יש להתייחס לפודינג כאל דיסקה שטוחה, לא כאל כדור.'"

  "למה אתה צריך להתייחס לפודינג חג המולד כדיסקה? ומדוע שאדם הגיוני כלשהו ירצה אי פעם לעשות חלוקה מדויקת כזו?" שאל הציניקן.

  "זו רק חידה—בעיה בדיסקציה." כולם בתורם הסתכלו על החידה, אבל אף אחד לא הצליח לפתור אותה. זה קצת קשה אלא אם כן אתה מכיר את העיקרון הכרוך בהכנת פודינגים כאלה, אבל קל מספיק כשאתה יודע איך זה נעשה.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 168

• לוחות עם מספר אי-זוגי של משבצות

  אנו נדון כאן בשאלה של אותם לוחות המכילים מספר אי-זוגי של משבצות. נניח שהמשבצת המרכזית נחתכת תחילה, כך שיישאר מספר זוגי של משבצות לחלוקה. כעת, ברור שלוח ריבוע שלוש על שלוש ניתן לחלוקה רק בדרך אחת, כפי שמוצג באיור `1`. ניתן לראות שהחלקים A ו-B הם באותו גודל וצורה, וכי כל דרך חיתוך אחרת תייצר רק חלקים בעלי צורה זהה, אז זכרו שווריאציות אלה אינן נספרות כדרכים שונות. החידה שאני מציע היא לחתוך את הלוח חמש על חמש (איור `2`) לשני חלקים באותו גודל וצורה בכמה שיותר דרכים שונות. הדגמתי באיור דרך אחת לעשות זאת. כמה דרכים שונות יש בסך הכל? חתיכה שכאשר הופכים אותה דומה לחתיכה אחרת אינה נחשבת כבעלת צורה שונה.
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 290

• חידת הסיגר

  הצעתי פעם את החידה הבאה במועדון לונדוני, ולתקופה ניכרת היא ספגה את תשומת הלב של החברים. הם לא הצליחו להבין אותה, וחשבו שהיא בלתי אפשרית לפתרון. ובכל זאת, כפי שאראה, התשובה פשוטה להפליא.

  שני אנשים יושבים ליד שולחן מרובע. אחד מניח סיגר רגיל (שטוח בקצה אחד, מחודד בקצה השני) על השולחן, ואז השני עושה את אותו הדבר, וכן הלאה לסירוגין, בתנאי שאף סיגר לא יגע באחר. איזה שחקן יצליח להניח את הסיגר האחרון, בהנחה שכל אחד מהם ישחק בצורה הטובה ביותר האפשרית? גודל פני השולחן וגודל הסיגר אינם נתונים, אך כדי לשלול את התשובה המגוחכת שהשולחן עשוי להיות כה קטן עד שהוא יכול להכיל רק סיגר אחד, נאמר שהשולחן לא יהיה קטן מ- `2` רגל מרובע והסיגר לא יותר מ- `4`½ אינץ' אורך. עם ההגבלות האלה אתה יכול לקחת כל מימד שתרצה. כמובן שאנו מניחים שכל הסיגרים זהים לחלוטין בכל מובן. האם השחקן הראשון או השחקן השני ינצח?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> תורת המשחקים לוגיקה -> הגיון גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 398