גאומטריה, ווקטורים

וקטורים הם גדלים בעלי גודל (אורך) וכיוון. הם משמשים לעיתים קרובות בגאומטריה לייצוג העתקות, כוחות או מהירויות. שאלות עשויות לכלול חיבור וקטורי, חיסור, כפל בסקלר ויישומיהם בבעיות והוכחות גאומטריות.

• שאלה

  במרחב נתונים 30 וקטורים לא מנוונים. הוכח כי יש לפחות 2 שהזווית ביניהם היא לא גדולה מ- 45 מעלות. 
  א. טולפיגו

  נושאים:

  גאומטריה -> טריגונומטריה גאומטריה -> גאומטריה על כדור קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 4

• שאלה

  נתון מרובע קמור ABCD. כל צלע שלו מחולקת ל K חלקים שווים. נקודות על צלע AB מחוברות עם נקודות מתאימות על CD ונקודות על BC עם נקודות על DA כך שנוצרים K² מרובעים קטנים. מהם בוחרים K מרובעים כך שכל 2 מרובעים מופרדים בלפחות קו אחד שמחבר AB ו- CD וקו אחד שמחבר BC עם DA. הוכח כי סכום השטחים של מרובעים אלה הוא S_ABCD/K. 
  א. אנג'אנס 

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 5

• שאלה

  ניקח משושה שרירותי ונסמן את אמצעי הצלעות שלו דרך `M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,M_6`. הוכיחו כי הקטעים `M_1M_2`, `M_3M_4` ו-`M_5M_6` ניתן להרכיב משולש אפילו בלי לסובב את הקטעים האלה.

  נושאים:

  גאומטריה -> ווקטורים

• שאלה

  נתונות שתי מקביליות: `ABCD` ו-`A^'B^'C^'D^'`. נסמן את אמצע הקטע `A\A^'` דרך `A^″ `, אמצע הקטע `B\B^'` דרך `B^″ `, וכן הלאה. הוכיחו כי `A^″B^″ C^″ D^″ ` מקבילית.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> ווקטורים

• איפה הנקודה?

  במשושה קמור ABCDEF המשולשים
  ACE ו-BDF משוכללים וחופפים. הראו כי
  שלושת הקטעים המחברים את אמצעי
  הצלעות הנגדיות של המשושה נחתכים
  בנקודה אחת.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תש"פ שאלה 3