גאומטריה, גאומטריה במישור, חשבון זוויות

נושא זה מתמקד בקביעת גודלן של זוויות בתוך צורות גאומטריות (כמו מצולעים, משולשים) או אלו הנוצרות על ידי קווים נחתכים, תוך שימוש בתכונות ומשפטים גאומטריים יסודיים (למשל, סכום זוויות במשולש, תכונות של קווים מקבילים).

• שאלה

  במרחב נתונים 30 וקטורים לא מנוונים. הוכח כי יש לפחות 2 שהזווית ביניהם היא לא גדולה מ- 45 מעלות. 
  א. טולפיגו

  נושאים:

  גאומטריה -> טריגונומטריה גאומטריה -> גאומטריה על כדור קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> ווקטורים
  מקורות:
  • תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב שאלה 4

• שאלה

  ישנו שולחן ביליארד שצורתו משולש שהזוויות שלו שוות ל-\(90^{\circ}\), \(30^{\circ}\) ו- \(60^{\circ}\). 

   

  נתון שולחן ביליארד שצורתו משולש ישר זווית, עם "כיסים" בפינותיו. אחת מזוויותיו החדות בת \(30^{\circ}\). מהפינה הזו (בת השלושים מעלות) יוצא כדור אל אמצע הצלע הנגדית של המשולש (תיכון). הוכח, שאם הכדור הוחזר יותר משמונה פעמים, (זווית פגיעה שווה לזווית החזרה) אז בסופו של דבר הכדור ייכנס לתוך ה"כיס" שנמצא בפינה בת ה-60 מעלות של המשולש.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף

• שאלה

  יהי ABCD מרובע קמור חסום במעגל שאלכסוניו מאונכים זה לזה. O מרכז המעגל. הוכח כי קו שבור AOC מחלק את המרובע לשני חלקים שווי שטח. 
  ו. ווארווארקין 

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"א, אביב, גרסה עיקרית, כיתות ט-י שאלה 3 נקודות 5

• 5 מעלות בשעון

  באיזה שעה יש זווית 5 מעלות בין מחוגי השעון?

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2013, כיתה ז שאלה 5

• שאלה

  האם קיים מרובע קמור שכל אחד מהאלכסונים שלו מחלק אותו לשני משולשים חדי זוויות?

  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• מחוגים מאונכים

  מספר פעמים ביממה מחוג השעות ומחוג הדקות נמצאים על ישר אחד ויוצרים זווית של `180^@`. האם בין כל הישרים האלה יש ישרים שמאונכים זה לזה?

  נושאים:

  לוגיקה הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• שאלה

  במישור נתונה נקודה ו-`12` ישרים שעוברים דרכה. הוכיחו כי יש שניים מתוך הישרים האלה שהזווית בינם פחות מ-`17^@`.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות

• שאלה

  במישור נתונים `12` ישרים נחתכים. הוכיחו כי כי יש שניים מתוך הישרים האלה שהזווית בינם פחות מ-`17^@`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> הזזה במקביל

• מחומש

  במחומש קמור `ABCDE` מתקיים: `AE=AD`, `AB=AC` ו-`angle CAD=angle ABE + angle AEB`.

  נעביר במשולש `ABE` תיכון `AM`. הוכיחו כי `AM` קטן פי שניים מהקטע `CD`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 2 נקודות 3

• שאלה

  נתון מצולע משוכלל בעל n קודקודים. חשבו את כמות המשולשים השונים (לא חופפים) שקודקודיהם מתלכדים עם קודקודי המצולע

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 4 שאלה 3