几何学, 向量

向量是既有大小（长度）又有方向的量。它们常在几何中用于表示位移、力或速度。问题可能涉及向量加法、减法、标量乘法及其在几何问题和证明中的应用。

• 问题

  在空间中给定 30 个非退化的向量。证明至少存在 2 个向量，它们之间的夹角不大于 45 度。 
  一. 托尔皮戈

  主题：

  几何学 -> 三角学 几何学 -> 球面几何学 组合数学 -> 鸽巢原理 组合数学 -> 组合几何学 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算 几何学 -> 向量
  来源：
  • Tournament of Towns, 1979-1980, Main, Spring 问题 4

• 问题

  给定凸四边形 ABCD。它的每条边都被分成 K 个相等的部分。边 AB 上的点与 CD 上的对应点相连，BC 上的点与 DA 上的点相连，从而形成 K² 个小四边形。从中选择 K 个四边形，使得每 2 个四边形至少被连接 AB 和 CD 的一条线以及连接 BC 和 DA 的一条线分隔开。证明这些四边形的面积之和为 S_ABCD/K. 
  A. 恩扬斯 

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 几何学 -> 面积计算 几何学 -> 向量
  来源：
  • Tournament of Towns, 1979-1980, Main, Spring 问题 5

• 问题

  取一个任意六边形，并用 `M_1,M_2,M_3,M_4,M_5,M_6` 标记它的边的中点。证明线段 `M_1M_2`, `M_3M_4` 和 `M_5M_6` 可以组成一个三角形，即使不旋转这些线段。

  主题：

  几何学 -> 向量

• 问题

  给定两个平行四边形：`ABCD` 和 `A^'B^'C^'D^'`。设 `A\A^'` 的中点为 `A^″ `，`B\B^'` 的中点为 `B^″ `，以此类推。证明：`A^″B^″ C^″ D^″ ` 是平行四边形。

  主题：

  几何学 -> 平面几何学 几何学 -> 向量

• 点在哪里？

  在凸六边形 ABCDEF 中，三角形
  ACE 和 BDF 是等边且全等的。证明
  连接六边形对边中点的三条线段
  交于一点。

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  主题：

  几何学 -> 平面几何学 -> 对称性 几何学 -> 平面几何学 -> 三角形 -> 三角形全等 几何学 -> 向量
  来源：
  • Gillis Mathematical Olympiad, 2019-2020 问题 3