תחרות הערים, תש"מ, עיקרית, אביב
-
שאלה 1
על המעגל נתונות נקודות כחולות ואדומות. מותר להוסיף נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה או להסיר נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה בעבר (אסור להשאיר פחות מ-2 נקודות על המעגל). הוכח/י כי אי אפשר להעביר רק ע"י הפעולות האלה מעגל עם שתי נקודות אדומות למעגל עם שתי נקודות כחולות.
ק. קזרנובסקינושאים:קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט -
שאלה 2
טבלה `N×N` ממולאת במספרים כך שכל השורות נבדלות (לפחות במקום אחד). הוכח/י כי אפשר למחוק עמודה כלשהי כך שבטבלה שתישאר גם כל השורות יהיו שונות.
א. אנג'אנס -
שאלה 3
a1, a2, ..., a101 הם תמורה של 2,3,4, ... ,102 . כך ש ai מתחלק ב-i לכל i. מצא/י את כל התמורות מסוג זה.
-
שאלה 4
במרחב נתונים 30 וקטורים לא מנוונים. הוכח כי יש לפחות 2 שהזווית ביניהם היא לא גדולה מ- 45 מעלות.
א. טולפיגונושאים:גאומטריה -> טריגונומטריה גאומטריה -> גאומטריה על כדור קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> ווקטורים -
שאלה 5
נתון מרובע קמור ABCD. כל צלע שלו מחולקת ל K חלקים שווים. נקודות על צלע AB מחוברות עם נקודות מתאימות על CD ונקודות על BC עם נקודות על DA כך שנוצרים K2 מרובעים קטנים. מהם בוחרים K מרובעים כך שכל 2 מרובעים מופרדים בלפחות קו אחד שמחבר AB ו- CD וקו אחד שמחבר BC עם DA. הוכח כי סכום השטחים של מרובעים אלה הוא SABCD/K.
א. אנג'אנס -
שאלה 6
בריבוע עם צלע 1 העבירו מספר סופי של קטעים מקבילים לצלעות הריבוע עם אורך כולל 18 (הם יכולים להיחתך). הוכח כי בין החלקים שהריבוע מתחלק להם ע"י הקטעים יש חלק עם שטח 0.01 לפחות.
א. אנג'אנס, א. ברזינשנושאים:גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה