组合数学, 博弈论

博弈论是研究多个参与者选择相互作用的战略决策。问题涉及分析游戏（如Nim、国际象棋变体或战略谜题）以找到最优策略，确定获胜/失败位置，或理解均衡等概念。

• 狼和羊

  游戏在一个无限平面上进行。一个玩家移动狼，另一个玩家移动 50 只羊。狼走一步后，一只羊走一步，然后狼再走，以此类推。一步中，狼或羊最多只能向任何方向移动一米。在任何初始状态下，狼都能抓住至少一只羊吗？

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 博弈论 证明与示例 -> 构造示例/反例
  来源：
  • Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 9-10 问题 5 积分 16

• 与巧克力玩游戏

  约西和丹尼玩以下游戏。他们有一块 `5xx7` 格的巧克力，放在桌子上。 每个人轮流沿着直线打破桌子上的一块巧克力，然后将产生的碎片放回桌子上。 也就是说，第一轮打破原始巧克力，在接下来的回合中，从那时起产生的碎片中选择一个并打破它。 只能沿着格子线打破，并且每次断裂都是从一边到另一边。 无法移动的人输。 赢家吃掉所有的巧克力。

  如果约西先走，他们中的哪一个能保证自己获胜？

  主题：

  组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 博弈论 逻辑学 -> 推理/逻辑

• 石头堆游戏

  两个人玩以下游戏。桌子上有三堆石头。第一堆有 `10` 块石头，第二堆有 – `15` 块，第三堆有 – `20` 块。每个人轮流选择当前桌上的一堆石头，并将其分成两堆较小的石头。无法移动者输。

  哪个玩家有制胜策略，是什么？

  主题：

  组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 博弈论 逻辑学 -> 推理/逻辑
  来源：
  • problems.ru web site

• 问题

  桌子上有100个杯子，里面分别装着`101, 102,...,200`颗珠子。两个人玩以下游戏：每人轮流选择一个杯子，并从中取出任意数量的珠子。如果某个玩家行动后，发现有两个杯子里的珠子数量相同，则该玩家输掉。谁有必胜策略：先手还是后手？

  主题：

  组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 博弈论
  来源：
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 7th grade 问题 8
  • Beno Arbel Olympiad, 2019, 8th grade 问题 6