Tournament of Towns, 1980-1981, Spring, Main Version, Grades 9-10

• 问题 1

  找出所有整数解 `(k>1) y^k=x^2+x`

  主题：

  数论 -> 素数 -> 素因数分解 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程

• 问题 2

  设 M 为平面上点的集合。如果可以从 M 中移除一个点，使得 O 是剩余点的通常对称中心，则称 O 为部分对称中心。一个平面上的有限点集可以有多少个部分对称中心？ 
  В. Прасолов 

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 证明与示例 -> 构造示例/反例 几何学 -> 平面几何学 -> 对称性

• 问题 3

  设 ABCD 是一个内接于圆的凸四边形，其对角线互相垂直。O 是圆心。证明折线 AOC 将四边形分成面积相等的两部分。
  沃. 瓦罗瓦金

  主题：

  几何学 -> 面积计算 几何学 -> 平面几何学 -> 圆 几何学 -> 平面几何学 -> 角度计算

• 问题 4

  64 位朋友同时听说了 64 条新闻（每位朋友一条新闻）。他们开始互相打电话并交流新闻。每次通话持续一小时。所有朋友需要多长时间才能知道所有新闻？
  A. 安吉阿斯 

  主题：

  逻辑学 -> 推理/逻辑

• 问题 5 - 狼和羊

  游戏在一个无限平面上进行。一个玩家移动狼，另一个玩家移动 50 只羊。狼走一步后，一只羊走一步，然后狼再走，以此类推。一步中，狼或羊最多只能向任何方向移动一米。在任何初始状态下，狼都能抓住至少一只羊吗？

  主题：

  组合数学 -> 组合几何学 组合数学 -> 不变量 组合数学 -> 博弈论 证明与示例 -> 构造示例/反例