קומבינטוריקה, גאומטריה קומבינטורית, חתכו צורה

בעיות חיתוך ופירוק צורות כוללות חיתוך צורה גאומטרית נתונה לחלקים שניתן לסדר מחדש ליצירת צורה אחרת מוגדרת, או כדי לעמוד בתנאים מסוימים (למשל, יצירת חלקים זהים). שאלות בודקות חשיבה מרחבית והבנה של שימור שטח.

• שְׁנֵי צְלָבִים מֵאֶחָד

  חתוך צלב יווני לחמישה חלקים שייצרו שני צלבים כאלה, שניהם באותו גודל. הפתרון של החידה הזו יפה מאוד.
  נושאים:

  גאומטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 143

• הצלב והמשולש

  חתוך צלב יווני לשישה חלקים שייצרו משולש שווה צלעות. זוהי בעיה קשה נוספת, ואציין כאן שפתרון מעשי בלתי אפשרי ללא ידע מוקדם בשיטה שלי להמרת משולש שווה צלעות לריבוע (ראה מס' `26`, "חידות קנטרברי").
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 144

• הצלב המקופל

  גזרו מצלב יווני מנייר; לאחר מכן קפלו אותו כך שבעזרת חיתוך ישר בודד במספריים, ארבעת החלקים שנוצרו ייצרו ריבוע.

  נושאים:

  גאומטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 145

• חידת חיתוך קלה

   

  ראשית, גזרו פיסת נייר או קרטון בצורה המוצגת באיור. ניתן לראות מיד שהפרופורציות הן פשוט אלו של ריבוע המחובר למחצית ריבוע דומה אחר, המחולק באלכסון. החידה היא לחתוך אותו לארבעה חלקים, כולם באותו גודל וצורה בדיוק.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 146

• חידת ריבוע קלה

   

  אם תיקח פיסת קרטון מלבנית, שאורכה כפול מרוחבה, ותחתוך אותה לשניים באלכסון, תקבל שניים מהחלקים המוצגים באיור. החידה היא ליצור ריבוע מחמישה חלקים כאלה בגודל שווה. ניתן לחתוך אחד מהחלקים לשניים, אך יש להשתמש בשאר החלקים בשלמותם.

  נושאים:

  גאומטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 147

• חידת הלחמנייה

  שלושת העיגולים מייצגים שלוש לחמניות, ונדרש פשוט להראות כיצד ניתן לחלק אותן באופן שווה בין ארבעה בנים. יש להתייחס ללחמניות כבעלות עובי שווה לכל אורכן ועובי שווה זו לזו. כמובן, יש לחתוך אותן למספר החלקים המועט ביותר האפשרי. כדי לפשט זאת, אציין את העובדה המפתיעה למדי שדי בחמישה חלקים בלבד, ומכך ניתן יהיה לראות שנער אחד מקבל את חלקו בשני חלקים ושלושת האחרים מקבלים את חלקם בחלק אחד. אני מודע לכך שהצהרה זו "מסגירה" את החידה, אך היא לא אמורה לפגוע בעניינם של אלה שאוהבים לגלות את "הסיבה לכך".
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 148

• ריבועי השוקולד

  הנה לוח שוקולד, עם שקעים בקווקווים כך שאפשר להפריד בקלות את עשרים הריבועים. הכינו העתק של הלוח מנייר או קרטון, ואז נסו לחתוך אותו לתשעה חלקים כך שייצרו ארבעה ריבועים מושלמים בגודל זהה לחלוטין.
  נושאים:

  גאומטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 149

• חיתוך זוית

   

  הצורה שמבלבלת את הנגר באיור מייצגת זווית. ניתן לראות שהמידות שלה הן של ריבוע שהוסר ממנו רבע. החידה היא לחתוך אותה לחמישה חלקים שיתאימו זה לזה וייצרו ריבוע מושלם. אני מציג ניסיון, שפורסם באמריקה, לבצע את המשימה בארבעה חלקים, המבוסס על מה שידוע כ"עיקרון הצעד", אבל זו טעות.  

  נאמר לנו תחילה לחתוך את החלקים `1` ו-`2` ולארוז אותם בחלל המשולש המסומן על ידי הקו המקווקו, וכך ליצור מלבן.

  עד כאן טוב ויפה. עכשיו, אנו מונחים ליישם את עקרון הצעד הישן, כפי שמוצג, ועל ידי הזזת החלק `4` צעד אחד למטה, ליצור את הריבוע הנדרש. אבל, לצערי, זה לא מייצר ריבוע: רק מלבן. נקרא לשלושת הצדדים הארוכים של הזווית `84` אינץ' כל אחד. אז, לפני חיתוך הצעדים, המלבן שלנו בשלושה חלקים יהיה `84`×`63`. הצעדים צריכים להיות `10`½ אינץ' בגובה ו-`12` אינץ' ברוחב. לכן, על ידי הזזת צעד אחד למטה אנו מקטינים ב-`12` אינץ' את הצד `84` אינץ' ומגדילים ב-`10`½ אינץ' את הצד `63` אינץ'. לכן המלבן הסופי שלנו חייב להיות `72` אינץ' × `73`½ אינץ', מה שבהחלט אינו ריבוע! העובדה היא שניתן ליישם את עקרון הצעד רק על מלבנים עם צלעות באורכים יחסיים מסוימים. לדוגמה, אם הצד הקצר יותר במקרה זה היה `61` `5/7` (במקום `63`), אז שיטת הצעד תתאים. כי אז הצעדים יהיו `10` `2/7` אינץ' בגובה ו-`12` אינץ' ברוחב. שימו לב ש-`61` `5/7` × `84`= הריבוע של `72`. נכון לעכשיו לא נמצא פתרון בארבעה חלקים, ואני לא מאמין שאפשר למצוא כזה.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 150

• הבעיה של הנגר

  לעיתים קרובות הזדמן לי להעיר על התועלת המעשית של חידות, הנובעות מיישום לענייני היומיום של הטריקים הקטנים וה-"קמטים" שאנו לומדים תוך כדי פתרון בעיות שעשוע. הנגר, באיור, רוצה לחתוך את חתיכת העץ למספר החלקים המינימלי האפשרי כדי ליצור משטח שולחן מרובע, מבלי לבזבז חומר. איך עליו לגשת לעבודה? כמה חלקים תצטרכו?
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור גאומטריה -> חשבון שטחים קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 151

• בעיה נוספת של נגר

  לנגר היו שני חתיכות עץ בצורות ובפרופורציות יחסיות המוצגות בדיאגרמה. הוא רצה לחתוך אותן למספר קטן ככל האפשר של חלקים כך שניתן יהיה לחבר אותם יחד, ללא בזבוז, וליצור משטח שולחן מרובע לחלוטין. איך הוא היה צריך לעשות את זה? אין צורך לתת מידות, כי אם החלק הקטן יותר (שהוא חצי ריבוע) יהיה קצת גדול מדי או קטן מדי, זה לא ישפיע על שיטת הפתרון.
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משפט פיתגורס קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 152