קומבינטוריקה, גאומטריה קומבינטורית, חתכו צורה

בעיות חיתוך ופירוק צורות כוללות חיתוך צורה גאומטרית נתונה לחלקים שניתן לסדר מחדש ליצירת צורה אחרת מוגדרת, או כדי לעמוד בתנאים מסוימים (למשל, יצירת חלקים זהים). שאלות בודקות חשיבה מרחבית והבנה של שימור שטח.

  • שבעת החזירים

     

    הנה חידה קטנה שהוצגה לאחד מבני ארין בימים האחרונים ובלבלה אותו שלא לצורך, כי היא באמת די קלה. כפי שניתן לראות מהאיור, הוצג לו סקיצה של מכלאה מרובעת המכילה שבעה חזירים. הוא נשאל איך יחצה את המכלאה עם שלושה גדרות ישרות כדי לתחום כל חזיר במכלאה נפרדת. במילים אחרות, כל שעליכם לעשות הוא לקחת את העיפרון שלכם, ובשלוש משיכות ישרות על פני הריבוע, לתחום כל חזיר בנפרד. שום דבר לא יכול להיות פשוט יותר.

    האירי התלונן שהחזירים לא ישארו בשקט בזמן שהוא מקים את הגדרות. הוא אמר שכולם יתקבצו יחד, או שחיה עקשנית אחת תיכנס לפינה ותתקבץ לבד. צוין בפניו שלצורך החידה החזירים נייחים. הוא ענה שחזירים אירים אינם נייחים—הם בשר חזיר. לאחר ששוכנע לנסות, הוא צייר שלושה קווים, שאחד מהם חתך חזיר. כש הוסבר שאסור לעשות זאת, הוא מחה שאין טעם בחזיר עד שחותכים לו את הגרון. "Begorra, if it's bacon ye want without cutting your pig, it will be all gammon." לא נעשה לאיש האירי את העוול לרמוז שהמשחק מילים האומלל היה מכוון. עם זאת, הוא לא הצליח לפתור את החידה. האם אתה יכול לעשות זאת?

    מקורות:

  • הגדרות של בעל הקרקע

    בעל הקרקע באיור מתייעץ עם מנהל המשק שלו בנוגע לשאלה קטנה ומטרידה למדי. יש לו תוכנית גדולה של אחד השדות שלו, שבו יש אחד עשר עצים. עכשיו, הוא רוצה לחלק את השדה לאחד עשר מתחמים בדיוק באמצעות גדרות ישרות, כך שכל מתחם יכיל עץ אחד כמחסה לבקר שלו. איך הוא יכול לעשות זאת עם כמה שפחות גדרות? קחו את העיפרון שלכם וציירו קווים ישרים על פני השדה עד שתסמנו את אחד עשר המתחמים (ולא יותר), ואז תראו כמה גדרות אתם צריכים. כמובן שהגדרות יכולות לחצות זו את זו. מקורות:

  • הפודינג של חג המולד

    "אם כבר מדברים על פודינגים של חג המולד," אמר המארח, כשהוא מביט במעדן המרשים בקצה השני של השולחן. "זה מזכיר לי את העובדה שידיד נתן לי חידה חדשה אתמול בנוגע לאחד כזה. הנה זה," הוא הוסיף, כשהוא צולל לתוך כיס חזה שלו.

    "'הבעיה: למצוא את התכולה,' אני מניח," אמר הנער מאיטון.

    "לא; ההוכחה לכך היא באכילה. אני אקריא לכם את התנאים."

     

    "'חתכו את הפודינג לשני חלקים, כל אחד בדיוק באותו גודל וצורה, מבלי לגעת באף אחד מהשזיפים. יש להתייחס לפודינג כאל דיסקה שטוחה, לא כאל כדור.'"

    "למה אתה צריך להתייחס לפודינג חג המולד כדיסקה? ומדוע שאדם הגיוני כלשהו ירצה אי פעם לעשות חלוקה מדויקת כזו?" שאל הציניקן.

    "זו רק חידה—בעיה בדיסקציה." כולם בתורם הסתכלו על החידה, אבל אף אחד לא הצליח לפתור אותה. זה קצת קשה אלא אם כן אתה מכיר את העיקרון הכרוך בהכנת פודינגים כאלה, אבל קל מספיק כשאתה יודע איך זה נעשה.

    מקורות:

  • פרדוקס הטנגרם

    תחביבים עתיקים רבים, כמו שחמט, התפתחו והשתנו במשך מאות שנים עד כדי כך שהממציאים המקוריים שלהם בקושי היו מזהים אותם. זה לא המקרה עם טנגרם, בילוי שנראה שהוא בן לפחות ארבעת אלפים שנה, שלכאורה מעולם לא היה רדום, ושלא שונה או "שופר" מאז שהסיני האגדי טאן חתך לראשונה את שבעת החלקים המוצגים בדיאגרמה I. אם תסמנו את הנקודה B, באמצע בין A ל-C, בצד אחד של ריבוע בכל גודל, ואת D, באמצע בין C ל-E, בצד סמוך, כיוון החיתוכים ברור מכדי להזדקק להסבר נוסף. כל עיצוב במאמר זה בנוי משבעת חלקי הקרטון המושחרים. מובן מיד שהשילובים האפשריים הם אינסופיים.  

    מר סם לויד המנוח, מניו יורק, שפרסם ספר קטן של עיצובים גאוניים מאוד, החזיק בכתבי היד של מר צ'אלנור המנוח, שערך מחקר ארוך ומעמיק על טנגרם. ג'נטלמן זה, כך אומרים, מתעד כי במקור היו שבעה ספרי טנגרם, שנערכו בסין אלפיים שנה לפני העידן הנוצרי. ספרים אלה נדירים כל כך, שאחרי ארבעים שנות מגורים בארץ, הוא הצליח לראות רק עותקים מושלמים של הכרכים הראשון והשביעי עם קטעים מהשני. חלקים מאחד הספרים, שהודפסו בעלי זהב על קלף, נמצאו בפקין על ידי חייל אנגלי ונמכרו בשלוש מאות לירות שטרלינג.

    לפני כמה שנים הגיע לידי ספר קטן מהספרייה של לואיס קרול המנוח, שכותרתו The Fashionable Chinese Puzzle. הוא מכיל שלוש מאות עשרים ושלושה עיצובי טנגרם, בעיקר דמויות גיאומטריות חסרות ייחוד, שיש לבנות משבעת החלקים. הוא "פורסם על ידי ג'יי ואי. וואליס, `42` רחוב סקינר, וג'יי וואליס, ג'וניור, ספריית מרין, סידמות'" (דרום דבון). אין תאריך, אבל ההערה הבאה מציינת את זמן הפרסום די מקרוב: "המצאה גאונית זו הייתה במשך זמן מה הבילוי המועדף על הקיסר לשעבר נפוליאון, אשר, בהיותו כעת במצב מוחלש וחי מבודד מאוד, מבלה שעות רבות ביום באימון סבלנותו ותושייתו." הקורא יגלה, כפי שעשה הגולה הגדול, שאפשר להפיק הנאה רבה, לא לגמרי לא מלמדת, מיצירת עיצובים של אחרים. הוא ימצא שרבות מההמחשות למאמר זה קלות למדי לבנייה, וחלקן די קשות. כל תמונה יכולה להיחשב כחידה.

    אבל זה בילוי אחר לגמרי ליצור עיצובים חדשים ומקוריים בעלי אופי ציורי, ומפתיע עד כמה הטנגרם מאפשר ליצור תמונות מחיי היומיום—זוויתיות ולעתים קרובות גרוטסקיות, זה נכון, אבל מלאות אופי. אני נותן דוגמה לדמות שוכבת (`2`) שהיא חיננית במיוחד, ורק צריכה הפחתה קלה של הזוויות שלה כדי לייצר מתאר משביע רצון לחלוטין.  

    כפי שהתייחסתי למחבר Alice in Wonderland, אני נותן גם את העיצובים שלי של ארנבת מרץ (`3`) והכובען (`4`). אני נותן גם ניסיון לנפוליאון (`5`), ואינדיאני אדום מצוין מאוד עם הסקוו שלו על ידי מר לויד (`6` ו-`7`). מספר גדול של עיצובים אחרים ניתן למצוא במאמר שלי ב-The Strand Magazine לנובמבר, `1908`.

     

    עם הופעתו של מאמר מגזין זה, סר ג'יימס מאריי המנוח, הפילולוג הדגול, ניסה, עם המסירות המדהימה שאפיינה את כל עבודתו, להתחקות אחר מקור המילה "טנגרם". לבסוף הוא כתב כדלקמן:—"אחד מבניי הוא פרופסור במכללה האנגלו-סינית בטיינטסין. דרכו, עמיתיו ותלמידיו, הצלחתי לברר לגבי הטן לכאורה בקרב חוקרים סינים. הפרופסור הסיני שלנו כאן (אוקספורד) גילה גם הוא עניין בעניין וקיבל מידע ממזכיר הנציגות הסינית בלונדון, שהוא נציג בולט מאוד של אנשי הספרות הסינים."

    "התוצאה הייתה להראות שהאיש טאן, האל טאן ו'ספר הטאן' אינם ידועים כלל לספרות, להיסטוריה או למסורת הסינית. רוב האנשים המשכילים מעולם לא שמעו על השם, או הטענה על קיומם, של אלה. החידה, כמובן, ידועה היטב. היא נקראת בסינית ch'i ch'iao t'u; באופן מילולי, 'תוכנית שבע-מתוחכמת' או 'דמות חידה מתוחכמת של שבעה חלקים.' אף שם המתקרב ל'טנגרם', או אפילו 'טן', לא מופיע בסינית, וההצעות היחידות לאחרון היו ה-t'an הסיני, 'להרחיב'; או t'ang, ניב קנטונזי ל'סיני.' הוצע כי כנראה אמריקאי או אנגלי שידע קצת סינית או קנטונזית, שרצה שם לחידה, עשוי להמציא אחד מאחת המילים הללו והסיומת האירופית 'גרם.' אני הייתי אומר שהשם 'טנגרם' הומצא כנראה על ידי אמריקאי זמן קצר לפני `1864` ואחרי `1847`, אבל אני לא יכול למצוא אותו בדפוס לפני מהדורת `1864` של וובסטר. לכן נאלצתי להתייחס למילה בקצרה רבה במילון, ולספר למה היא מתייחסת ולאילו השערות או ניחושים נעשו לגבי השם, ונתתי כמה ציטוטים, אחד מהמאמר שלך עצמך, שאפשר לי לעשות יותר מהנושא ממה שיכולתי לעשות אחרת."

    כמה כתבים הודיעו לי שהם מחזיקים, או החזיקו, דוגמאות של הספרים הסיניים הישנים. ג'נטלמן אמריקאי כותב לי כדלקמן:—"יש לי ספר עשוי נייר טישו, מודפס בשחור (עם כתובת סינית בעמוד הראשון), המכיל למעלה משלוש מאות עיצובים, השייך לקופסת 'טנגרם,' שבבעלותי גם כן. הבלוקים הם שבעה במספר, עשויים צדף, מלוטשים מאוד וחרוטים דק משני הצדדים. אלה כלולים בקופסת עץ ורד `2` `1/8` אינץ' מרובעת. דודי הגדול, ——, היה אחד המיסיונרים הראשונים שביקרו בסין. הקופסה והספר האלה, יחד עם אוסף של שרידים אחרים, נשלחו לסבי ועברו אלי."

     

    הכתב שלי סיפק לי באדיבות שפשופים של הטנגרם, מהם ברור שהם חתוכים בפרופורציות המדויקות שאותן ציינתי. אני משחזר את הכתובת הסינית (`8`) מסיבה זו. הבעלים של הספר מודיע לי שהוא הגיש אותו למספר סינים בארצות הברית והציע דולר תמורת תרגום. אבל כולם סירבו בתוקף לקרוא את המילים, והציעו את התירוץ הצולע שהכתובת היא יפנית. ילידי יפן, לעומת זאת, מתעקשים שזה סיני. האם יש משהו נסתר ואזוטרי בטנגרם, שכל כך קשה להסיר את הצעיף? אולי דף זה יגיע לידיעת קורא כלשהו שמכיר את השפה הסינית, שיספק את התרגום הנדרש, שעשוי, או לא, להאיר מעט על שאלה מוזרה זו.  

    על ידי שימוש במספר סטים של טנגרם בו זמנית אנו עשויים לבנות תמונות שאפתניות יותר. חבר יעץ לי לא לשלוח את התמונה שלי, "משחק ביליארד" (`9`), לאקדמיה. הוא הבטיח לי שהיא לא תתקבל כי "השופטים כל כך כבולים על ידי מוסכמות." אולי הוא צדק, והיא תהיה מוערכת יותר על ידי פוסט-אימפרסיוניסטים וקוביסטים. השחקנים שוקלים מהלך עדין מאוד בראש השולחן. כמובן, שני האנשים, השולחן והשעון נוצרו מארבעה סטים של טנגרם. התמונה השנייה שלי נקראת "התזמורת" (`10`), והיא תוכננה לקישוט אולם מוזיקה גדול. כאן יש לנו את המנצח, הפסנתרן, נגן הקורנט השמנמן, הנגן השמאלי של הקונטרבס, שתנוחתו נאמנה למציאות, אם כי הוא עומד במרחק חריג מהכלי שלו, ואת ילד המתופף, עם מעמד התווים המרשים שלו. הכלב מאחורי הפסנתר אינו מיילל: הוא מאזין מעריך.  

    דבר אחד ראוי לציון בתמונות הטנגרם הללו הוא שהן מציעות לדמיון הרבה דברים שבאמת לא נמצאים שם. מי, למשל, יכול להסתכל כמה דקות על ליידי בלינדה (`11`) והנערה ההולנדית (`12`) מבלי להרגיש בקרוב את ההבעה היהירה במקרה אחד ואת המבט השובב במקרה השני? ואז הסתכלו שוב על החסידה (`13`), ותראו כיצד מוצע לתודעה שהרגל למעשה דקה בהרבה מכל אחד מהחלקים המשמשים. זו ממש אשליה אופטית. שוב, שימו לב במקרה של היאכטה (`14`) כיצד, על ידי השארת הנקודה הזוויתית הקטנה הזו בחלק העליון, מוצע תורן שלם. אם תשימו את הטנגרם שלכם יחד על נייר לבן כך שהם לא ממש נוגעים זה בזה, במקרים מסוימים האפקט משתפר על ידי הקווים הלבנים; במקרים אחרים זה כמעט נהרס.  

    לבסוף, אני נותן דוגמה מהפרדוקסים המוזרים הרבים שאדם נתקל בהם בתפעול טנגרם. אני מראה עיצובים של שני אנשים מכובדים (`15` ו-`16`) שנראים בדיוק אותו הדבר, למעט העובדה שלאחד יש רגל ולשני אין. עכשיו, שתי הדמויות האלה עשויות מאותם שבעה טנגרם. מאיפה האיש השני מקבל את הרגל שלו?  

    מקורות:

  • כיסויי הכריות

     

    האיור לעיל מייצג ריבוע של ברוקד. גברת רוצה לחתוך אותו לארבעה חלקים, כך ששני חלקים יהוו כיסוי עליון מרובע לחלוטין לכרית אחת, ושני החלקים הנותרים יהוו כיסוי עליון מרובע לכרית אחרת. איך היא אמורה לעשות זאת? כמובן, היא יכולה לחתוך רק לאורך הקווים שמחלקים את עשרים וחמשת הריבועים, והדוגמה חייבת "להתאים" כראוי ללא כל אי סדר בעיצוב החומר. יש רק דרך אחת לעשות זאת. האם תוכלו למצוא אותה?

    מקורות:

  • חידת הבאנר

    לגברת הייתה חתיכת בד מרובעת עם שני אריות עליה, שהאיור הוא שעתוק מוקטן ומדויק שלה. היא רצתה לחתוך את הבד לחתיכות שיתאימו זו לזו וייצרו שני באנרים מרובעים עם אריה על כל באנר. היא גילתה שאפשר לעשות זאת בארבע חתיכות בלבד. איך היא הצליחה? כמובן, לחתוך את האריה הבריטי יהיה פשע בל יכופר, אז עליכם להיזהר שאף חיתוך לא יעבור דרך אף חלק מהם. לגברות נמסר שאין להתחשב כלל ב"תפרים", ואין לבזבז אף חלק מהחומר. זוהי חידת חיתוך פשוטה למדי אם ניגשים אליה נכון. זכרו שהבאנרים צריכים להיות ריבועים מושלמים, אם כי הם לא צריכים להיות באותו גודל. מקורות:

  • המתנה לחג המולד של גברת סמיילי

    הבעת ההנאה של גברת סמיילי הייתה כנה כאשר שש נכדותיה שלחו לה, כמתנה לחג המולד, שמיכת טלאים יפה מאוד, שהן הכינו במו ידיהן. היא נבנתה מחתיכות מרובעות של חומר משי, כולן באותו גודל, ומכיוון שהן הכינו שמיכה גדולה עם ארבעה עשר ריבועים קטנים אלה בכל צד, ברור שנתפרו לתוכה בדיוק `196` חתיכות. עכשיו, שש הנכדות תרמו כל אחת חלק מהעבודה בצורה של ריבוע מושלם (כל ששת החלקים בגודל שונה), אך כדי לחבר אותם ליצירת השמיכה המרובעת היה צורך לפרום את עבודתה של ילדה אחת לשלושה חלקים נפרדים. האם תוכלו להראות כיצד ניתן היה לבצע את החיבורים? כמובן, שאף חלק לא ניתן להפוך. מקורות:

  • השמיכה של גברת פרקינס

    ניתן לראות שבמקרה זה שמיכת הטלאים המרובעת בנויה מ-`169` חלקים. החידה היא למצוא את המספר הקטן ביותר האפשרי של חלקים מרובעים שמהם יכולה להיות מורכבת השמיכה ולהראות כיצד ניתן לחבר אותם יחד. או, כדי להציג זאת הפוך, חלקו את השמיכה למספר הקטן ביותר האפשרי של חלקים מרובעים רק על ידי חיתוך התפרים. מקורות:

  • ריבועי הברוקד

     

    קרה שנכחתי בביתה של גברת, כאשר הרמתי משולחן שני ריבועים יפהפיים של ברוקד. הם היו דוגמאות יפהפיות של אומנות מזרחית — שניהם באותו עיצוב, דוגמה משובצת עדינה

    ."הם לא מעודנים?" אמרה חברתי. "הם הובאו לי על ידי בן דוד שחזר זה עתה מהודו. עכשיו, אני רוצה שתעניק לי קצת עזרה. אתה רואה, החלטתי לחבר אותם יחד כדי ליצור כיסוי כרית מרובע גדול אחד. איך עלי לעשות זאת כדי לשחית את החומר כמה שפחות? כמובן שאני מציעה לבצע את החתכים שלי רק לאורך הקווים שמחלקים את המשבצות הקטנות."

     

    חתכתי את שני הריבועים באופן הרצוי לארבעה חלקים שיכולים להתאים יחד וליצור ריבוע גדול יותר, תוך הקפדה על כך שהדוגמה תתאים כראוי, וכאשר סיימתי שמתי לב שלשניים מהחלקים יש בדיוק אותו שטח; כלומר, כל אחד משני החלקים הכיל את אותו מספר משבצות. האם אתה יכול להראות כיצד בוצעו החתכים בהתאם לתנאים אלה?

    מקורות:

  • עוד חידת טלאים

    גברת קיבלה משתי חברותיה טלאי משי יפהפה, כפי שניתן לראות באיור. ניתן לראות ששני החלקים מורכבים מריבועים בגודל זהה - אחד `12x12` והשני `5x5`. היא מציעה לחבר אותם יחד וליצור שמיכת טלאים מרובעת אחת, `13x13`, אך כמובן, היא לא תחתוך אף אחד מהחומרים - רק תפרום את התפרים היכן שצריך ותחבר שוב. מה שמבלבל אותה הוא זה. חברה מבטיחה לה שלא צריך יותר מארבעה חלקים בסך הכל כדי לחבר לשמיכה החדשה. האם תוכלו להראות לה כיצד ניתן לפתור את חידת התפירה הקטנה הזו במספר כה מצומצם של חלקים? מקורות: