לוגיקה, דוברי אמת ושקרנים

אלו חידות היגיון קלאסיות הכוללות קבוצת אנשים, שחלקם תמיד דוברי אמת וחלקם תמיד שקרנים. המטרה היא להסיק מי הוא מי, או לוודא עובדה ספציפית, על סמך הצהרותיהם. אלו דורשות דדוקציה זהירה ושיטתית.

• שאלה

  אבי תמיד דובר אמת, ובני תמיד משקר. האם קיימת שאלה שאפשר לשאול את שניהם, כך שהם יתנו תשובות זהות על השאלה הזאת?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים

• שאלה

  תייר הגיע לאי שגרים בו דוברי אמת ושקרנים. דוברי אמת תמיד אומרים אמת, ושקרנים תמיד משקרים. התייר מטייל ביחד עם המדריך המקומי, והם רואים איזה איכר עובד בשדה. התייר ביקש מהמדריך לברר האם האיש הזה הוא דובר אמת או שקרן. המדריך דיבר עם האיכר ואז אמר לתייר: "הוא אמר שהוא דובר אמת".

  א. מה ניתן להסיק מזה על האיכר?

  ב. מה ניתן להסיק על המדריך?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  יום אחד הארי פוטר מצא מחברת מוזרה בה היו כתובים מאה המשפטים הבאים:

  "במחברת הזאת יש בדיוק משפט אחד שהוא שקר"

  "במחברת הזאת יש בדיוק שני משפטים שהם שקר"

  "במחברת הזאת יש בדיוק שלושה שהם שקר "

  ...

  "במחברת הזאת יש בדיוק מאה משפטים שהם שקר "

  האם יש במחברת הזאת משפטים שהם אמת, ואם כן, אז כמה? נמקו!

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• הַנְס האמיץ והחוק האכזרי

  במדינה הקסומה חי אי פעם מלך אכזר. בסביבת הארמון שלו היה גשר, והוא העמיד על הגשר שומר שקיבל פקודות הבאות: הוא חייב לשאול את כל מי שעובר בגשר, למה הוא בא לפה. אם האיש עונה שקר, צריך לתלות אותו, ואם הוא עונה אמת – צריך לערוף לו את הראש.

  יום אחד הַנְס האמיץ היה צריך לעבור במקום הזה. כאשר השומר שאל אותו: "למה באת לפה?", הנס נתן תשובה כזאת שהשומר נאלץ לשחרר אותו. מה בדיוק הנס אמר לשומר?

  נושאים:

  לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• שלושה חברים

  ישנם שלושה חברים, וייס, שוורצמן ורוטנברג. שלישיית החברים הזאת מיוחדת בכך שאחד מהם בלונדיני, שני ג'ינג'י ושלישי בעל שיער שחור. יום אחד אמר הבחור הבלונדיני לשוורצמן: "אנחנו שלישיית חברים מיוחדת מאוד! שים לב כי זה לא רק ששמות משפחה של שלושתנו משמעותן צבעים, אלא גם שם משפחה של כל אחד מאתנו אינו תואם לצבע השיער שלו."

  איזה צבע שיער יש לכל אחד משלושה האנשים האלה?

  הערה: "שוורצמן" משמעותו "איש שחור", "רוטנברג" משמעותו "סלע אדום" ו"וייס" משמעותו "לבן" (מיידיש).

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  באי גרים שקרנים ודוברי אמת (דוברי אמת תמיד אומרים אמת, ושקרנים תמיד משקרים). איזו שאלה צריך לשאול בן אדם שרירותי מתושבי האי כדי לברר האם הוא מחזיק בבית תנין בתור חיית מחמד?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• מי שבר את הזכוכית?

  אחד מארבעה התלמידים הבאים: אבי, בני, גילי ודני – שבר זכוכית. מנהלת שואלת אותם, מי עשה את זה. להלן התשובות שהיא קיבלה:

  אבי: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא בני.

  בני: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא דני.

  גילי: אני יודעת בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא בני.

  דני: אני יודע בוודאות שמי ששבר את הזכוכית, זה לא אני ולא אבי.

  ידוע שרק אחד מהם שבר את הזכוכית, ובנוסף ידוע ששלושה מהתלמידים אמרו אמת, ואחד שיקר. אז מי שבר את הזכוכית?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים

• הנס האמיץ והחוק האכזרי

  בארץ הקסומה חי אי פעם מלך אכזר. בסביבת הארמון שלו היה גשר, והוא העמיד על הגשר שומר שקיבל פקודות הבאות: הוא חייב לשאול את כל מי שעובר בגשר, למה הוא בא לפה. אם האיש עונה שקר, צריך לתלות אותו, ואם הוא עונה אמת – צריך לערוף לו את הראש.

  יום אחד הנס האמיץ היה צריך לעבור במקום הזה. כאשר השומר שאל אותו: "למה באת לפה?", הנס נתן תשובה כזאת שהשומר נאלץ לשחרר אותו. מה בדיוק הנס אמר לשומר?

  נושאים:

  לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• תמנוני הקסם

  בים הקסום חיים תמנונים שיודעים לדבר. כל תמנון או תמיד דובר אמת, או תמיד משקר. יום אחד
  התקיימה השיחה הבאה בין ארבעה תמנונים, אבי, בני, גידי ודני:

  
  אבי: אני תמנון ירוק
  בני: אני לא ירוק
  גידי: כל התמנונים הירוקים שקרנים
  דני: רק תמנון ירוק יכול להיות שקרן

  
  ידוע שרק אחד מארבעה אלה שקרן, והשאר דוברי אמת.
  א. מי הוא השקרן מבין ארבעה החברים? נמקו!
  ב. האם ניתן לדעת מה הצבע שלו?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 6
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 4

• מעגל שקרנים - טענת האמת

  במעגל יושבים n אנשים, כל אחד מהם הוא שקרן או דובר אמת.

  האנשים מסתכלים למרכז המעגל. שקרן תמיד משקר, ודובר אמת תמיד אומר אמת.

  כל אחד מהאנשים יודע בדיוק מי דובר שקר ומי דובר אמת.

  כל אחד מהאנשים אומר שהאיש שיושב שני מקומות לשמאלו (זאת אומרת ליד האיש שיושב לידו), הוא דובר אמת.

  ידוע שבמעגל יש לפחות שקרן אחד, ולפחות דובר אמת אחד.

  א. האם ייתכן ש-2017 = n?

  ב. האם ייתכן ש-5778 = n?

  (פורמט פתרון: "מילה, מילה" למשל "חתול, כלבלב")

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ח שאלה 1