קומבינטוריקה, בדיקת מקרים, תהליכים
בדיקת מקרים היא טכניקת פתרון בעיות שבה בעיה מחולקת למספר מקרים נפרדים וממצים. כל מקרה מנותח בנפרד כדי להגיע לפתרון או הוכחה. שאלות המתאימות לכך כוללות תנאים המחלקים באופן טבעי את הבעיה לתרחישים שונים.
-
שאלה
בקופסא יש `14` גרביים שחורים ו-`14` גרביים לבנים. מלבד הצבע, כל הגרביים בקופסא זהים לחלוטין. דני רוצה להוציא לו מהקופסא זוג גרביים בלי להסתכל לתוכה. כמה גרביים הוא צריך להוציא, כדי:
א. להרכיב בוודאות זוג גרביים כלשהו,
ב. להרכיב בוודאות זוג גרביים שחורים?
מקורות: -
שאלה
על המעגל נתונות נקודות כחולות ואדומות. מותר להוסיף נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה או להסיר נקודה אדומה ולשנות את הצבעים של הנקודות השכנות שלה בעבר (אסור להשאיר פחות מ-2 נקודות על המעגל). הוכח/י כי אי אפשר להעביר רק ע"י הפעולות האלה מעגל עם שתי נקודות אדומות למעגל עם שתי נקודות כחולות.
ק. קזרנובסקימקורות:נושאים:קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות תורת הקבוצות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט -
שאלה
a1, a2, ..., a101 הם תמורה של 2,3,4, ... ,102 . כך ש ai מתחלק ב-i לכל i. מצא/י את כל התמורות מסוג זה.
מקורות: -
שאלה
תייר הגיע לאי שגרים בו דוברי אמת ושקרנים. דוברי אמת תמיד אומרים אמת, ושקרנים תמיד משקרים. התייר מטייל ביחד עם המדריך המקומי, והם רואים איזה איכר עובד בשדה. התייר ביקש מהמדריך לברר האם האיש הזה הוא דובר אמת או שקרן. המדריך דיבר עם האיכר ואז אמר לתייר: "הוא אמר שהוא דובר אמת".
א. מה ניתן להסיק מזה על האיכר?
ב. מה ניתן להסיק על המדריך?
מקורות: -
שאלה
ביום הולדתה של אליס שואלים את החברים שלה בת כמה היא. הכובען המטורף אומר כי הגיל של אליס גדול מ-`11`, וחתול צ'שייר אומר כי הגיל שלה גדול מ-`10`. ידוע כי בדיוק אחד מהם טועה. בת כמה אליס עכשיו? נמקו!
-
שאלה
יום אחד הארי פוטר מצא מחברת מוזרה בה היו כתובים מאה המשפטים הבאים:
"במחברת הזאת יש בדיוק משפט אחד שהוא שקר"
"במחברת הזאת יש בדיוק שני משפטים שהם שקר"
"במחברת הזאת יש בדיוק שלושה שהם שקר "
...
"במחברת הזאת יש בדיוק מאה משפטים שהם שקר "
האם יש במחברת הזאת משפטים שהם אמת, ואם כן, אז כמה? נמקו!
נושאים:קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים -
שאלה
לשלושה קיפודים יש שלוש חתיכות גבינה של `5`, `8` ו-`11` גרם. שועל מציע לקיפודים לעזור להם לחלק את הגבינה שווה בשווה. הפעולה שהשועל יכול לעשות זה לנגוס גרם אחד מכל אחת משתי חתיכות גבינה לבחירתו. האם השועל יוכל להגיע בעזרת פעולות אלו למצב בו הוא ישאיר לשלושה הקיפודים חתיכות שוות של גבינה?
מקורות:נושאים:אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה -
שאלה
בחדר נמצאים `85` בלונים, אדומים וכחולים. ידוע כי:
- לפחות אחד מהבלונים אדום,
- בכל זוג בלונים שניקח, לפחות אחד מהבלונים חייב להיות כחול.
כמה בלונים אדומים יש בחדר?
מקורות: -
שאלה
כיצד לחלק `7` תפוחים בין `12` ילדים שווה בשווה, אם אסור לחתוך כל תפוח ליותר מ-`5` חתיכות?
מקורות:נושאים:אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת המספרים -> חלוקה -
שאלה
נתון מספר ראשוני תלת-ספרתי שכל ספרותיו שונות. ידוע שהספרה האחרונה שלו שווה לסכום של שתי הספרות האחרות. מצאו את כל האפשרויות לספרה האחרונה של המספר הזה.
מקורות:נושאים:תורת המספרים -> מספרים ראשוניים תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-2, 4 ו-8 תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים