קומבינטוריקה, טבלאות מספריות

בעיות בקטגוריה זו כוללות רשתות או טבלאות מלאות במספרים. משימות עשויות לכלול מציאת תבניות, קביעת ערכים חסרים על בסיס כלל, חישוב סכומים של שורות/עמודות/אלכסונים, או ניתוח תכונות של סידורים ספציפיים כמו ריבועי קסם.

שלושה חברים

ישנם שלושה חברים, וייס, שוורצמן ורוטנברג. שלישיית החברים הזאת מיוחדת בכך שאחד מהם בלונדיני, שני ג'ינג'י ושלישי בעל שיער שחור. יום אחד אמר הבחור הבלונדיני לשוורצמן: "אנחנו שלישיית חברים מיוחדת מאוד! שים לב כי זה לא רק ששמות משפחה של שלושתנו משמעותן צבעים, אלא גם שם משפחה של כל אחד מאתנו אינו תואם לצבע השיער שלו."

איזה צבע שיער יש לכל אחד משלושה האנשים האלה?

הערה: "שוורצמן" משמעותו "איש שחור", "רוטנברג" משמעותו "סלע אדום" ו"וייס" משמעותו "לבן" (מיידיש).

נושאים:
לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
מקורות:
- אתר האינטרנט problems.ru
שאלה

נתונה טבלה בגודל `29×29`, שבמשבצות שלה כתובים כל המספרים השלמים מ-`1` עד `29`, כל אחד `29` פעמים בדיוק. ידוע כי סכום כל המספרים הכתובים מעל האלכסון הראשי גדול מסכום כל המספרים מתחת לאלכסון הראשי בדיוק פי שלוש. איזה מספר כתוב במשבצת המרכזית של הטבלה?

נושאים:
אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון אלגברה -> סדרות אלגברה -> אי שוויונים -> ממוצעים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות בעיות מינימום ומקסימום

הפרשים בלוח הכפל

צובעים את לוח הכפל `10xx10` בצביעת שחמט שחור ולבן, כך שהמשבצת של `1xx1` צבועה בשחור.
מצאו את ההפרש בין סכום כל המספרים במשבצות השחורות לסכום כל המספרים במשבצות הלבנות.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

אריתמטיקה קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות קומבינטוריקה -> צביעות -> צביעת שחמט

מקורות:

מה יש בכל כלי?

על השולחן עומדים בשורה ספל, כוס, קנקן וצנצנת, בסדר לא ידוע. הכלים מכילים חלב, מיץ תפוזים, קולה ומים, אבל לא ידוע מה יש בכל כלי. נתון כי
- החלב והמים לא בספל
- הכלי שמכיל מיץ תפוזים עומד בין הקנקן לבין הכלי שמכיל קולה,
- בצנצנת אין מים וגם לא מיץ תפוזים,
- הכוס עומדת בין הצנצנת לבין הכלי עם החלב.
איזה נוזל נמצא באיזה כלי?

התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז

נושאים:
לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות
סכום מכפלות ספרות

נסמן ב `P(n)` את מכפלת הספרות של המספר `n`. לדוגמה, `P(1948) = 1 * 9 * 4 * 8 = 288`.

א.

חשבו את `P(1) + P(2) + P(3) + ... + P(2016)`

ב.

מצאו את הערך המקסימלי של `{P(n)} /n`, כאשר `2016 <= n <= 5777`.

(פורמט הפתרון: "x, y/z" כאשר y/z שבר לא מצומצם. למשל "10000, 35/100")

התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז

נושאים:
אריתמטיקה אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות תורת המספרים -> חלוקה
מקורות:
- אולימפיאדת גיליס, תשע"ז שאלה 2
לוח 2022x2022 ופעולות הפיכה

יש לוח `2022 times 2022` עם מספרים ממשיים.

בכל מהלך מותר לבחור שורה או עמודה ומספר ממשי `c`.

אז מחליפים כל מספר בשורה או בעמודה מ `x` ל `c - x`.

האם ניתן להגיע מכל לוח לכל לוח?

התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז

נושאים:
קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות
טבלה מינימלית

נתונה טבלה בגודל `3 times 3`. הילה רוצה לרשום במשבצות הטבלה ספרות מ-1 עד 9, כך שכל הסכומים בשורות ובעמודות של הטבלה יהיו שונים, והסכום הכולל של הטבלה יהיה קטן ככל האפשר.
מותר לחזור על אותה ספרה מספר פעמים. מה הוא הסכום הקטן ביותר שהילה יכולה לקבל?

נושאים:
אריתמטיקה לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות
מקורות:
- האולימפיאדה לצעירים, תשע"ט, שלב ב, כיתות ה-ו שאלה 7
המספר הנעלם

מצאו מספר, שאם נרשום אותו בכל אחת המשבצות הכחולות, הסכומים בכל הריבועים בגודל `3times3` בטבלה יהיו שווים זה לזה.

נושאים:
קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות
מקורות:
- האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ג-ד שאלה 1
חידת הבוחרים
כאן יש לנו, אולי, את הצורה המעניינת ביותר של החידה. בכמה דרכים שונות ניתן לקרוא את הציווי הפוליטי, "RISE TO VOTE, SIR," תחת אותם תנאים כמו קודם? במקרה זה, כל קריאה של הפלינדרום מחייבת שימוש ב-V המרכזי כאות האמצעית.

נושאים:
קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות
מקורות:
- שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 258
צלבים של מוֹנִים

כל מה שאנחנו צריכים לפאזל הזה הם תשעה מוֹנִים, ממוספרים `1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8` ו-`9`. ניתן לראות באיור A שהם מסודרים כך שיוצרים צלב יווני, ואילו במקרה של B הם יוצרים צלב לטיני. בשני המקרים הקורא יגלה שסכום המספרים באנך של הצלב זהה לסכום המספרים בזרוע האופקית. קל למדי להגיע לסידור כזה בניסוי וטעייה, אך הבעיה היא לגלות בדיוק בכמה דרכים שונות ניתן לעשות זאת בכל מקרה. זכרו שהיפוכים ושיקופים אינם נחשבים כשונים. כלומר, אם תסובבו את הדף הזה תקבלו ארבעה סידורים של הצלב היווני, ואם תסובבו אותו שוב מול מראה תקבלו ארבעה נוספים. אבל את שמונתם אלה מחשיבים כזהים. עכשיו, כמה דרכים שונות יש בכל מקרה?

נושאים:
קומבינטוריקה -> כלל המכפלה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> טבלאות מספריות
מקורות:
- שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 277

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100