האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו

• שאלה 1 - כבשים וגמלים

  לשמואל יש עדר בו 9 כבשים ו-5 גמלים. הוא רוצה לחלק את העדר בין שני בניו, יוסי ודני, כך שכל אחד מהם יקבל חלק שווה ערך.
  ידוע כי 7 כבשים עולות כמו 3 גמלים. כיצד יכול שמואל לחלק את העדר בין שני בניו שווה בשווה, בלי למכור אף חיה?

  נושאים:

  אלגברה -> משוואות אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> שברים
  מקורות נוספים:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 5

• שאלה 2 - בול עץ

  ברשותכם בול עץ ארוך מאוד. האם תוכלו למדוד ממנו מטר אחד בדיוק,אם יש לכם לצורך זה
  א. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 40 סנטימטרים,
  ב. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 30 סנטימטרים,

  במידה ואין לכם שום כלי מדידה נוספים? נמקו!

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות נוספים:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 7

• שאלה 3 - מכפלת שטחים

  בציור מרובע בעל אלכסונים מאונכים. הוכיחו כי מכפלת השטחים המקווקים בתוך המרובע שווה למכפלת השטחים הלבנים בתוך המרובע.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים

• שאלה 4 - תמנוני הקסם

  בים הקסום חיים תמנונים שיודעים לדבר. כל תמנון או תמיד דובר אמת, או תמיד משקר. יום אחד
  התקיימה השיחה הבאה בין ארבעה תמנונים, אבי, בני, גידי ודני:

  
  אבי: אני תמנון ירוק
  בני: אני לא ירוק
  גידי: כל התמנונים הירוקים שקרנים
  דני: רק תמנון ירוק יכול להיות שקרן

  
  ידוע שרק אחד מארבעה אלה שקרן, והשאר דוברי אמת.
  א. מי הוא השקרן מבין ארבעה החברים? נמקו!
  ב. האם ניתן לדעת מה הצבע שלו?

  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים לוגיקה -> דוברי אמת ושקרנים
  מקורות נוספים:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 6

• שאלה 5 - בוחן

  בכיתה של 25 תלמידים התקיים בוחן המורכב מ-7 שאלות. הוכיחו כי לפחות אחד משני המשפטים הבאים נכון:

  1. יש ילד שפתר מספר אי זוגי של שאלות
  2. יש שאלה שפתרו אותה מספר זוגי של ילדים
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה

• שאלה 6 - פומבה והסוכריות

  לפומבה יש 11 סוכריות שוקולד ו-13 סוכריות טופי. בכל פעם הוא יכול לאכול או שתי סוכריות מסוגים שונים,
  או שלוש סוכריות מאותו הסוג. מה הוא המספר הגדול ביותר של סוכריות שפומבה יוכל לאכול לפי הכללים האלה?

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> אינווריאנטים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 7 - חישובים בלוח הכפל

  דני ביצע את החישובים הבאים מעל לוח הכפל של המספרים מ- 1 עד 10:
  הוא חישב את סכום כל המספרים בריבוע השמאלי העליון בגודל `9 times 9` בתוך לוח הכפל,
  הוסיף לו את סכום כל המספרים בריבוע הימני התחתון `9 times 9`,
  החסיר מהתוצאה את סכום כל המספרים בריבוע הימני העליון `9 times 9`,
  ואז החסיר את סכום כל המספרים בריבוע השמאלי התחתון `9 times 9`.
  איזו תוצאה הוא קיבל?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אריתמטיקה