Grossman Math Olympiad, 2006
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问题 1 - 对抗
埃胡德和本雅明参加了一场公开辩论。 每个人轮流向对手提出一个问题。 埃胡德被选为第一个提出问题的人。“难题”是一个对手无法回答的问题。 成功提出难题的竞争者立即赢得辩论。 两个竞争者中的每一个（轮流）找到难题的概率正好是 1/2。 此外，众所周知，问题之间没有任何依赖关系。 埃胡德赢得辩论的概率是多少？
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问题 2 - 被13除
在一张纸上写下从 1 到 2006 的所有自然数，并执行如下所述的一系列操作。在每个阶段，从列表中删除任意数量的数字，并将它们的总和标记为 S。用将 S 除以 13 所得的余数替换删除的数字。在执行若干次这样的步骤后，纸上只剩下两个数字。其中一个是 100。求另一个数。
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问题 3 - 平面上的集合
A. 是否存在一个平面上的集合 A，使得它与每个圆的交集恰好包含两个点？
B. 是否存在一个平面上的集合 B，使得它与每个半径为 1 的圆的交集恰好包含两个点？
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问题 4 - 六边形平铺
给出两种类型的瓷砖。第一种类型的每个瓷砖的形状是边长为 1 的正六边形。第二种类型的每个瓷砖的形状是边长为 2 的正六边形。假设每种类型的瓷砖都有无限的供应。是否可以用这些瓷砖平铺整个平面，同时使用两种类型的瓷砖？
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问题 5 - 三角形的边长
设 `n > 2` 为整数，且 ` t_1,t_2,...,t_n` 为正实数，满足
`(t_1+t_2+...+t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n) < n^2+1`
证明对于所有 i,j,k 满足 `1<=i<j<k<=n`，数集 `t_i,t_j,t_k` 均为某个三角形的边长。
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问题 6 - 具有整数系数的多项式
设 (p(x) 是一个具有整数系数的多项式，满足 `p(-2006) < p(2006)=2005`。证明 `p(-2006)<=-2007`。
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问题 7 - 平面上的旅行
给定一个平面直角坐标系 x-y。需要从点 (1,0) 到达点 (2006,2005)，每次移动可以向上（沿 y 轴正方向）移动一个单位，或者向右（沿 x 轴正方向）移动一个单位。
a. 有多少种不同的路径可以完成这个任务？
b. 如果不允许在任何阶段通过位于直线 x=y 上的点，那么有多少种不同的路径可以完成这个任务？