代数学, 数列, 等差数列

等差数列是连续项之间的差是常数（此常数称为公差）的数列。问题涉及寻找第`n`项、前`n`项的和、公差或基于给定信息的其他属性。

• 50 的幂

  证明在 `1+50+50^2+...+50^1000` 的最右边 504 位数字中

  每个数字出现的次数都是 12 的倍数

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  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 -> 被3和9整除的规则 代数学 -> 数列 -> 等差数列 代数学 -> 代数技巧 -> 裂项求和
  来源：
  • Mink Exercises and Additional Competition Materials, 2018-2019, Exercise 3 问题 2

• 问题

  从 1 到 99 的所有数字之和比从 1 到 9999 的所有数字之和小多少倍？

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  主题：

  代数学 -> 数列 -> 等差数列
  来源：
  • Young Mathematician Olympiad, 2017-2018, Stage A, Grades 5-6 问题 2

• 被13除

  在一张纸上写下从 1 到 2006 的所有自然数，并执行如下所述的一系列操作。在每个阶段，从列表中删除任意数量的数字，并将它们的总和标记为 S。用将 S 除以 13 所得的余数替换删除的数字。在执行若干次这样的步骤后，纸上只剩下两个数字。其中一个是 100。求另一个数。

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  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 数论 -> 除法 -> 奇偶性 代数学 -> 数列 -> 等差数列
  来源：
  • Grossman Math Olympiad, 2006 问题 2

• 最长游戏记录

  游戏开始时有一行 42 枚硬币，全部正面朝上（'人头'）。

  每位玩家轮流选择一枚正面朝上的硬币——将其翻转，并翻转其右侧相邻的硬币（如果存在）。

  如果轮到你时，所有硬币都反面朝上（'字面'）？你就赢了！

  游戏最多在几轮后结束？

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  主题：

  代数学 -> 数列 -> 等差数列
  来源：
  • Bar-Ilan's weekly mathriddle competition, 2024 问题 2