数论, 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM）, 欧几里得算法

欧几里得算法是计算两个整数最大公约数（GCD）的有效方法。它基于原理`\text{GCD}(a, b) = \text{GCD}(b, a \pmod{b})`。问题涉及应用该算法并理解其用途，包括用于线性丢番图方程的扩展版本。

• 问题

  房间里有 `4` 条腿的椅子和 `3` 条腿的椅子。当所有椅子上都坐着人时，房间里共有 `39` 条腿（没有人站着）。房间里每种椅子各有多少把？

  主题：

  代数学 -> 应用题 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） -> 欧几里得算法 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程

• 问题

  一. 假设您有一个12升的大油罐，以及两个空的容器，分别为5升和8升。您是否能够将油分成两个相等的部分？您只有这些容器，没有其他测量工具。

  二. 同样的问题，但不是5升的容器，而是一个4升的容器。

  主题：

  数论 -> 模算术/余数算术 -> 整除规则 组合数学 -> 不变量 逻辑学 -> 推理/逻辑 数论 -> 除法 -> 奇偶性 证明与示例 -> 构造示例/反例 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） -> 欧几里得算法 组合数学 -> 案例分析/检查案例 -> 过程/程序 证明与示例 -> 反证法

• 问题

  在神奇的国度里，只有两种货币：`16` 勒克（魔法里拉）和 `27` 勒克。 是否有可能购买一本价值 1 魔法里拉的笔记本并获得精确的找零？

  主题：

  证明与示例 -> 构造示例/反例 数论 -> 最大公约数（GCD）和最小公倍数（LCM） -> 欧几里得算法 数论 -> 除法 代数学 -> 方程 -> 丢番图方程