מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה
שלב ב-
שאלה מהמקורות: שלב ב(1)
על דף לבן ציירו משושה קמור ומחומש קמור. מהו המספר הגדול ביותר של חלקים שאליהם הקווים
מקורות:
בציור יכולים לחלק את הדף? -
שאלה מהמקורות: שלב ב(2)
נתון כי `1 = 1/a -(a)/(5) +(3b)/(5a) = 1/b-b/3+(7c)/(3b) = (1)/(c) - (c)/(7) + (5a)/(7c)` מצאו את `a^2 + b^2 + c^2`.
מקורות: -
שאלה מהמקורות: שלב ב(3)
נתון לוח בגודל 10×10. איילה רוצה לצבוע את משבצות הלוח בכחול ולבן (כל משבצת בצבע מסוים),
מקורות:
כך שבכל ריבוע שמורכב מ-4 משבצות יהיו בדיוק שתי משבצות לבנות ושתי משבצות כחולות. בכמה
דרכים שונות יכולה איילה לצבוע את המשבצות בהתאם לכללים האלה? -
שאלה מהמקורות: שלב ב(4)
מצאו את הערך המקסימלי האפשרי של `(3+sqrt(289-y^2) + x)^2 + (4+sqrt(64-x^2) + y)^2` בהנחה ש `-17<=y<=17`, `-8<= x <=8` מקורות: -
שאלה מהמקורות: שלב ב(5)
בכמה דרכים שונות ניתן לבחור 6 ספרות a,b,c,d,e,f שכולן שונות מ-0 (ולא בהכרח שונות זו
מזו), כך שהמספר השש-ספרתי `ab00cd` יתחלק במספר השש-ספרתי `cd00ef`? מקורות: -
שאלה מהמקורות: שלב ב(6)
נתון משולש ABC ומעגל עם רדיוס 10 שחותך כל אחד מהצלעות של המשולש בשתי נקודות: נקודות
P ו-Q על הצלע BC, נקודות K ו-L על הצלע CA, ונקודות M ו-N על הצלע AB, כך שמתקיים `AM = MN = KL = PQ = 2PB = BC/6`. מצאו את שטח המשולש ABC.מקורות:נושאים:גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים -
שאלה מהמקורות: שלב ב(7)
מספר N יקרא מוצלח אם הוא מקיים את שני התנאים הבאים:
* N הוא מספר חיובי שלם שמתחלק ב-101,
* ברישום של N מופיעות בדיוק שתי ספרות לא אפסיות.
למשל המספר 2020 הוא מוצלח, ואילו המספר 12120 אינו מוצלח כי יש בו 4 ספרות לא אפסיות.
מצאו את כמות המספרים המוצלחים שקטנים מ- `10^40`. מקורות: -
שאלה מהמקורות: שלב ב(8)
עשרה מספרים שלמים רשומים במעגל. נתון כי הסכום בכל שלשה רצופה שווה ל-7 או ל-8 (לא בהכרח
כל הסכומים זהים). מהו ההפרש הגדול ביותר האפשרי בין המספר הכי גדול לבין המספר הכי קטן במעגל? מקורות: