מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה

שלב ב

• שאלה מהמקורות: שלב ב(1)

  על דף לבן ציירו משושה קמור ומחומש קמור. מהו המספר הגדול ביותר של חלקים שאליהם הקווים
  בציור יכולים לחלק את הדף?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית גאומטריה -> גאומטריה במישור
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 1

• שאלה מהמקורות: שלב ב(2)

  נתון כי `1 = 1/a -(a)/(5) +(3b)/(5a) = 1/b-b/3+(7c)/(3b) = (1)/(c) - (c)/(7) + (5a)/(7c)` מצאו את `a^2 + b^2 + c^2`.

  נושאים:

  אלגברה -> טכניקה אלגברית אלגברה -> משוואות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 2

• שאלה מהמקורות: שלב ב(3)

  נתון לוח בגודל 10×10. איילה רוצה לצבוע את משבצות הלוח בכחול ולבן (כל משבצת בצבע מסוים),
  כך שבכל ריבוע שמורכב מ-4 משבצות יהיו בדיוק שתי משבצות לבנות ושתי משבצות כחולות. בכמה
  דרכים שונות יכולה איילה לצבוע את המשבצות בהתאם לכללים האלה?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים קומבינטוריקה -> צביעות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 3

• שאלה מהמקורות: שלב ב(4)

  מצאו את הערך המקסימלי האפשרי של `(3+sqrt(289-y^2) + x)^2 + (4+sqrt(64-x^2) + y)^2` בהנחה ש `-17<=y<=17`, `-8<= x <=8`
  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים בעיות מינימום ומקסימום אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 4

• שאלה מהמקורות: שלב ב(5)

  בכמה דרכים שונות ניתן לבחור 6 ספרות a,b,c,d,e,f שכולן שונות מ-0 (ולא בהכרח שונות זו
  מזו), כך שהמספר השש-ספרתי `ab00cd` יתחלק במספר השש-ספרתי `cd00ef`?
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 5

• שאלה מהמקורות: שלב ב(6)

  נתון משולש ABC ומעגל עם רדיוס 10 שחותך כל אחד מהצלעות של המשולש בשתי נקודות: נקודות
  P ו-Q על הצלע BC, נקודות K ו-L על הצלע CA, ונקודות M ו-N על הצלע AB, כך שמתקיים `AM = MN = KL = PQ = 2PB = BC/6`. מצאו את שטח המשולש ABC.
  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 6

• שאלה מהמקורות: שלב ב(7)

  מספר N יקרא מוצלח אם הוא מקיים את שני התנאים הבאים:
  * N הוא מספר חיובי שלם שמתחלק ב-101,
  * ברישום של N מופיעות בדיוק שתי ספרות לא אפסיות.
  למשל המספר 2020 הוא מוצלח, ואילו המספר 12120 אינו מוצלח כי יש בו 4 ספרות לא אפסיות.
  מצאו את כמות המספרים המוצלחים שקטנים מ- `10^40`.
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 7

• שאלה מהמקורות: שלב ב(8)

  עשרה מספרים שלמים רשומים במעגל. נתון כי הסכום בכל שלשה רצופה שווה ל-7 או ל-8 (לא בהכרח
  כל הסכומים זהים). מהו ההפרש הגדול ביותר האפשרי בין המספר הכי גדול לבין המספר הכי קטן במעגל?
  נושאים:

  אריתמטיקה אלגברה -> סדרות
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב שאלה 8