מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשפ"ה, שלב ב
-
שאלה 1
על דף לבן ציירו משושה קמור ומחומש קמור. מהו המספר הגדול ביותר של חלקים שאליהם הקווים
בציור יכולים לחלק את הדף? -
שאלה 2
נתון כי `1 = 1/a -(a)/(5) +(3b)/(5a) = 1/b-b/3+(7c)/(3b) = (1)/(c) - (c)/(7) + (5a)/(7c)` מצאו את `a^2 + b^2 + c^2`.
-
שאלה 3
נתון לוח בגודל 10×10. איילה רוצה לצבוע את משבצות הלוח בכחול ולבן (כל משבצת בצבע מסוים),
כך שבכל ריבוע שמורכב מ-4 משבצות יהיו בדיוק שתי משבצות לבנות ושתי משבצות כחולות. בכמה
דרכים שונות יכולה איילה לצבוע את המשבצות בהתאם לכללים האלה? -
שאלה 4
מצאו את הערך המקסימלי האפשרי של `(3+sqrt(289-y^2) + x)^2 + (4+sqrt(64-x^2) + y)^2` בהנחה ש `-17<=y<=17`, `-8<= x <=8` -
שאלה 5
בכמה דרכים שונות ניתן לבחור 6 ספרות a,b,c,d,e,f שכולן שונות מ-0 (ולא בהכרח שונות זו
מזו), כך שהמספר השש-ספרתי `ab00cd` יתחלק במספר השש-ספרתי `cd00ef`? -
שאלה 6
נתון משולש ABC ומעגל עם רדיוס 10 שחותך כל אחד מהצלעות של המשולש בשתי נקודות: נקודות
P ו-Q על הצלע BC, נקודות K ו-L על הצלע CA, ונקודות M ו-N על הצלע AB, כך שמתקיים `AM = MN = KL = PQ = 2PB = BC/6`. מצאו את שטח המשולש ABC.נושאים:גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים -
שאלה 7
מספר N יקרא מוצלח אם הוא מקיים את שני התנאים הבאים:
* N הוא מספר חיובי שלם שמתחלק ב-101,
* ברישום של N מופיעות בדיוק שתי ספרות לא אפסיות.
למשל המספר 2020 הוא מוצלח, ואילו המספר 12120 אינו מוצלח כי יש בו 4 ספרות לא אפסיות.
מצאו את כמות המספרים המוצלחים שקטנים מ- `10^40`. -
שאלה 8
עשרה מספרים שלמים רשומים במעגל. נתון כי הסכום בכל שלשה רצופה שווה ל-7 או ל-8 (לא בהכרח
כל הסכומים זהים). מהו ההפרש הגדול ביותר האפשרי בין המספר הכי גדול לבין המספר הכי קטן במעגל?