תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3

• שאלה 1

  המספרים a,b,c שונים מ-0, והמספרים ab,ac,bc רציונליים.

  א. הראו כי`a^2+b^2+c^2` מספר רציונלי.

  ב. הראו שאם `a^3+b^3+c^3` מספר רציונלי, אז `a+b+c` מספר רציונלי.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה

• שאלה 2 - 50 בחזקת

  הראו כי ב504 הספרות הימניות של `1+50+50^2+...+50^1000`

  מופיעה כל ספרה בכמות שמתחלקת ב 12 פעמים

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית אלגברה -> טכניקה אלגברית -> סכומים טלסקופיים

• שאלה 3

  נתון a,b,c מספרים רציונליים שונים הוכיחו כי `sqrt{1/(a-b)^2+1/(b-c)^2 +1 /(c-a)^2}`

  רציונלי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים

• שאלה 4

  נתונים מספרים טבעיים m,n כך ש`m/n <= sqrt 23` הוכיחו כי `m/n+3/{mn} <= sqrt 23`

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות אלגברה -> אי שוויונים הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אלגברה -> טכניקה אלגברית -> שורשים

• שאלה 5

  נתונים n,a,b טבעיים ככה ש`3n+1=a^2` וגם `4n+1=b^2` הוכיחו כי

  א. n מתחלק ב 8 (קל יותר)

  ב. n מתחלק ב 56

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות

• שאלה 6

  האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

  א. x זוגי (קל יותר)

  ב. x אי זוגי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות