אריתמטיקה, חילוק עם שארית

נושא זה מתמקד בחילוק של מספרים שלמים כאשר התוצאה כוללת מנה ושארית (שהיא קטנה מהמחלק). שאלות כוללות ביצוע חילוקים כאלה ופתרון בעיות שבהן לשארית יש משמעות, כמו בחשבון מודולרי או זיהוי תבניות.

• שאלה

  אבי גר בדירה מספר `45`. באיזו קומה נמצאת הדירה, אם בביתו של אבי בקומה ראשונה יש `2` דירות, ובכל קומה אחרת יש `4` דירות? (הערה: אין בבית קומה `0`)

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • אתר האינטרנט problems.ru

• שאלה

  מצאו את כל המספרים הטבעיים בעלי התכונה הבאה: אם נחלק אותם ב-7 עם שארית, השארית תהיה שווה למנה.

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> אי שוויונים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  הוכיחו כי מבין חמישה מספרים שלמים ניתן לבחור שניים שהפרש שלהם מתחלק ב-`4`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  בבית של אלה שלוש כניסות ו-`13` קומות (מ-`0` עד `12`, והדירות נמצאות בכל הקומות חוץ מקומת קרקע). בכל כניסה, בכל קומה חמש דירות. אלה גרה בדירה מספר `73`. באיזו כניסה ובאיזו קומה היא גרה?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות תורת המספרים -> חלוקה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  אבי הזמין אורחים. הם יודעים שהוא גר בדירה `333`, בכניסה מספר `10`, אבל הם לא יודעים באיזו קומה. בבניין יש `9` קומות, וידוע שבכל קומה יש מספר שווה של דירות. ברצונם של האורחים להשתמש במעלית. האם הם יכולים לחשב מראש, איזו קומה במעלית הם צריכים ללחוץ?

  נושאים:

  אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  נתונים שני מספרים כך שאחד מהם מתקבל מהשני על ידי שינוי סדר ספרות. הוכיחו כי ההפרש שלהם מתחלק ב-`9`.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה -> סימני חלוקה ב-3 וב-9 הוכחה ודוגמה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית

• שאלה

  האם יש פתרון בטבעיים למשוואה `x^2 + 12 = y^3` כך ש

  א. x זוגי (קל יותר)

  ב. x אי זוגי

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  תורת המספרים -> מספרים ראשוניים תורת המספרים -> חשבון השאריות תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> הוכחה בשלילה אריתמטיקה -> חילוק עם שארית אלגברה -> משוואות -> משוואות דיופנטיות
  מקורות:
  • תרגילי מינק וחומרים נוספים מאתר תחרות, תשע"ט, תרגיל 3 שאלה 6

• בול עץ

  ברשותכם בול עץ ארוך מאוד. האם תוכלו למדוד ממנו מטר אחד בדיוק,אם יש לכם לצורך זה
  א. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 40 סנטימטרים,
  ב. מקל באורך של מטר וחצי ועוד מקל באורך של 30 סנטימטרים,

  במידה ואין לכם שום כלי מדידה נוספים? נמקו!

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> אינווריאנטים אלגברה -> בעיות מילוליות לוגיקה -> הגיון אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ג-ד שאלה 7
  • האולימפיאדה לצעירים, תשע"ח, גמר, כיתות ה-ו שאלה 2

• מספרים עוקבים ומחיקה

  יוסי רשם על הלוח 10 מספרים טבעיים עוקבים. דני מחק אחד מהמספרים. סכום המספרים שנשארו על הלוח שווה ל- 2020.
  איזה מספר נמחק?

  נושאים:

  אלגברה -> בעיות מילוליות אלגברה -> סדרות אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תשפ"א, שלב א, כיתות ז-ח שאלה 5

• שאלה

  המורה חילקה (עם שארית) את מספר התלמידים בשכבה ב-2, ב-3, ב-4, ב-5 וב-9. כשסיכמה את השאריות, קיבלה 18. מצא את מספר התלמידים בשכבה, אם ידוע שהמספר קטן מ-300.

  נושאים:

  תורת המספרים -> חשבון השאריות -> סימני חלוקה אלגברה -> בעיות מילוליות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים אריתמטיקה -> חילוק עם שארית
  מקורות:
  • מבחני בחירה ל-IMO בישראל, תשע"א, שלב א שאלה 6