גאומטריה, גאומטריה במישור, העתקות של מישור, העתקות חפיפה (איזומטריות)

איזומטריות הן העתקות המשמרות מרחקים וגודלי זוויות, כלומר הצורה המועתקת (התמונה) חופפת לצורה המקורית. אלו כוללות הזזות, סיבובים ושיקופים. שאלות מתמקדות ביישום העתקות אלו והבנת תכונותיהן.

• לחתוך לארבעה חלקים

  צורות גיאומטריות נקראות חופפות אם הן מתלכדות כאשר שמים אותן זו על זו.חתכו את הצורה הבאה לארבעה חלקים חופפים:

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות)
  מקורות:
  • האולימפיאדה לצעירים, תש"פ, גמר, כיתות ג-ד שאלה 3

• שאלה

  במישור נתונים `12` ישרים נחתכים. הוכיחו כי כי יש שניים מתוך הישרים האלה שהזווית בינם פחות מ-`17^@`.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> עקרון שובך היונים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> הזזה במקביל

• משולשים על קוים

  שישה משולשים שווי שוקיים חופפים הוצמדו זה לזה כמתואר בציור.
  הראו כי הנקודות C, F ו- M נמצאות על ישר אחד.

  

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> הזזה במקביל
  מקורות:
  • אולימפיאדת גיליס, תשע"ט שאלה 3

• מחומש

  במחומש קמור `ABCDE` מתקיים: `AE=AD`, `AB=AC` ו-`angle CAD=angle ABE + angle AEB`.

  נעביר במשולש `ABE` תיכון `AM`. הוכיחו כי `AM` קטן פי שניים מהקטע `CD`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י שאלה 2 נקודות 3

• שאלה

  בתוך ריבוע ABCD שאורך צלעו 1 סומנה נקודה E, ומחוץ לריבוע נקודה F, כך שהמשולשים ABE ו-DAF משוכללים. חשבו את השטח של המחומש CBEFD.
  

  נושאים:

  גאומטריה -> חשבון שטחים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • אולימפיאדת בנו ארבל, 2017, כיתה ח שאלה 6

• בעניין גלגלים

   

  ישנן מספר עובדות מוזרות הנוגעות לתנועת גלגלים אשר עשויות לבלבל את המתחילים. לדוגמה: כאשר רכבת נוסעת מלונדון לקרו, חלקים מסוימים ברכבת, בכל רגע נתון, נעים למעשה מקרו לכיוון לונדון. האם תוכלו לציין את החלקים האלה? זה נראה אבסורדי שחלקים מאותה רכבת יכולים בכל זמן נתון לנוע בכיוונים מנוגדים, אך כך הם פני הדברים.

  באיור המצורף יש לנו שני גלגלים. הגלגל התחתון אמור להיות קבוע והגלגל העליון מסתובב סביבו בכיוון החצים. עכשיו, כמה פעמים הגלגל העליון מסתובב סביב צירו שלו במהלך סיבוב שלם סביב הגלגל השני? אל תמהרו עם התשובה, אחרת כמעט בטוח שתטעו. נסו זאת עם שני מטבעות על השולחן והתשובה הנכונה תפתיע אתכם, כשתצליחו לראות אותה.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 203

• שאלה

  ישנו שולחן ביליארד שצורתו משולש שהזוויות שלו שוות ל-\(90^{\circ}\), \(30^{\circ}\) ו- \(60^{\circ}\). 

   

  נתון שולחן ביליארד שצורתו משולש ישר זווית, עם "כיסים" בפינותיו. אחת מזוויותיו החדות בת \(30^{\circ}\). מהפינה הזו (בת השלושים מעלות) יוצא כדור אל אמצע הצלע הנגדית של המשולש (תיכון). הוכח, שאם הכדור הוחזר יותר משמונה פעמים, (זווית פגיעה שווה לזווית החזרה) אז בסופו של דבר הכדור ייכנס לתוך ה"כיס" שנמצא בפינה בת ה-60 מעלות של המשולש.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף

• שאלה

  חתכו את הצורה הנתונה לארבעה חלקים חופפים:

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> סימטריה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> חתכו צורה קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף

• טיול במישור

  נתונה במישור מערכת צירים x-y. יש להגיע מהנקודה (1,0) אל הנקודה (2006,2005), כאשר בכל מהלך מותר לנוע יחידה אחת מעלה (בכיוון החיובי של y) או יחידה אחת ימינה (בכיוון החיובי של ציר א).

  א. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה?

  ב. בכמה מסלולים שונים ניתן לבצע את המשימה אם אסור באף שלב לעבור דרך נקודה הנמצאת על הישר x=y?

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית קומבינטוריקה -> מקדמים בינומיים ומשולש פסקל גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 7

• חידת חולבת הפרות

  הנה חידה כפרית קטנה, אשר במבט ראשון עשויה להוביל את הקורא להניח שהיא מעמיקה מאוד, וכוללת חישובים מורכבים. הוא אף עשוי לטעון שאי אפשר לתת תשובה כלשהי אלא אם כן נאמר לנו משהו מוגדר לגבי המרחקים. ובכל זאת היא ממש "ילדותית ותמימה."

   

  בפינת שדה נראית חולבת חולבת פרה, ובצד השני של השדה נמצאת המחלבה, לשם יש להעביר את החלב. אבל שמו לב שהאישה הצעירה תמיד יורדת לנהר עם הדלי שלה לפני שהיא חוזרת למחלבה. כאן הקורא החשדן אולי ישאל מדוע היא מבקרת בנהר. אני יכול רק לענות שזה לא ענייננו. החלב לכאורה מיועד כולו לצריכה מקומית.

  "לאן את הולכת, עלמה יפה שלי?"
  "לנהר, אדוני," היא אמרה.
  "אני לא אבחר את המחלבה שלך, עלמה יפה שלי."
  "אף אחד לא שאל אותך, אדוני," היא אמרה.

  
  

  אם למישהו הייתה סקרנות בעניין, רוח עצמאית כזו תנטרל אותו לחלוטין. אז נעבור מנקודת המבט של מוסר מסחרי לנושא החידה.

  מתחו קו משרפרף החליבה אל הנהר ומשם אל דלת המחלבה, אשר יציין את המסלול הקצר ביותר האפשרי עבור החולבת. זה הכל. קל מאוד לציין את הנקודה המדויקת על גדת הנהר שאליה עליה לכוון את צעדיה אם היא רוצה את ההליכה הקצרה ביותר האפשרית. האם אתה יכול למצוא את הנקודה הזו?

  נושאים:

  בעיות מינימום ומקסימום גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> שיקוף
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 187