תחרות הערים, תשמ"ד, סתיו, גרסת תרגול, כיתות ט-י

• שאלה 1 - דובדבנים ואוכמניות

  `175` ק"ג דובדבנים עולים יותר מ-`125` ק"ג אוכמניות, אבל פחות מ-`126` ק"ג אוכמניות. בנוסף, ידוע שקילוגרם של דובדבנים עולה מספר שלם של שקלים, וגם קילוגרם של אוכמניות עולה מספר שלם של שקלים.

  הוכיחו כי `80` שקלים זה לא מספיק כדי לקנות קילוגרם אחד של אוכמניות ושלושה קילוגרמים של דובדבנים.

  ס.פומין

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה אלגברה -> אי שוויונים אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 2 - מחומש

  במחומש קמור `ABCDE` מתקיים: `AE=AD`, `AB=AC` ו-`angle CAD=angle ABE + angle AEB`.

  נעביר במשולש `ABE` תיכון `AM`. הוכיחו כי `AM` קטן פי שניים מהקטע `CD`.

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים -> חפיפת משולשים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> העתקות של מישור -> העתקות חפיפה (איזומטריות) -> סיבוב

• שאלה 3 - מסגרת

  על דף משבצות נתון ריבוע בגודל `NxxN`. נתבנן במסגרת שלו בעובי של משבצת אחת. היא מורכבת מ-`4*(N-1)` משבצות.

  האם תוכלו לרשום במשבצות של המסגרת `4*(N-1)` מספרים שלמים עוקבים (לא בהכרח חיוביים), כך שיתקיים התנאי הבא:

  לכל מלבן שקודקודיו נמצאים על המסגרת וצלעותיו מקבילים לאלכסונים של הריבוע המקורי, סכום המספרים בקודקודים שווה לגודל קבוע. זה כולל גם את המלבנים "המנוונים" בעלי רוחב אפס שמתלכדים עם האלכסונים של הריבוע - במקרה הזה פשוט סוכמים את שני המספרים בקודקודים המנוגדים של הריבוע

  עבור:

  א. `N=3`

  ב. `N=4`

  ג. `N=5`

  

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 4 - מכפלת ספרות

  עבור מספר טבעי `x`, נסמן ב-`P(x)` את מכפלת הספרות של `x`, ונסמן ב-`S(x)` את סכום הספרות של `x`. 

  כמה פתרונות יש למשוואה:

  `P(P(x))+P(S(x))+S(P(x))+S(S(x))=1984`

  נושאים:

  תורת המספרים אלגברה -> משוואות

• שאלה 4

  הזיזו גפרור אחד, כך שיתקבל שוויון תקין.

  

  הערה: יתכנו מספר פתרונות.

  נושאים:

  אריתמטיקה חידות ורבוסים -> חידות גפרורים