תורת ההסתברות

תורת ההסתברות היא ענף במתמטיקה העוסק בסבירות התרחשותם של מאורעות. היא כוללת חישוב הסתברויות של מאורעות פשוטים ומורכבים, הבנת מושגים כמו מרחב מדגם, הסתברות מותנית, תוחלת, ושימוש בשיטות קומבינטוריות לספירת תוצאות.

• שאלה

  חנה מחכה לאוטובוס. לאיזה משלושה האירועים הבאים יש סיכוי גדול ביותר:

  1. חנה מחכה לאוטובוס לפחות דקה,
  2. חנה מחכה לאוטובוס לפחות שתי דקות,
  3. חנה מחכה לאוטובוס לפחות חמש דקות.
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת הקבוצות תורת ההסתברות

• שאלה

  מידי ערב יובל מסיים עבודה בזמן אקראי ומגיע לתחנת אוטובוס. בתחנה הזאת עוצרים שני אוטובוסים: מספר `7`, שנוסע לבית של יובל, ומספר `13`, שנוסע לבית של ידידו שלומי. יובל עולה על האוטובוס הראשון שמגיע וכתלות בכך נוסע לשלומי או הביתה.

  כעבור זמן מה יובל שם לב כי אחרי עבודה הוא נוסע לשלומי בערך פי שניים יותר מאשר הוא נוסע הביתה. הוא הסיק מזה שהאוטובוס מספר `13` מגיע בתדירות פי שניים גבוהה יותר מאוטובוס מספר `7`.

  האם יובל בהכרח צודק?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת ההסתברות לוגיקה -> הגיון -> פרדוקסים

• העימות

  אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות תורת ההסתברות

• העימות

  אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות תורת ההסתברות

• העימות

  אהוד ובנימין משתתפים בעימות פומבי. כל אחד מציג, בתורו, שאלה ליריבו. אהוד נבחר להיות הראשון שמציג שאלה. "שאלה מכשילה" היא שאלה שעליה אין ליריב תשובה. מתמודד שמצליח לשאול שאלה מכשילה מנצח מיד בעימות. ההסתברות של כל אחד משני המתמודדים למצוא (בתורו) שאלה מכשילה היא בדיוק 1/2. כמו כן, ידוע שאין כל תלות בין השאלות. מה ההסתברות של אהוד לנצח בעימות?

  נושאים:

  אלגברה -> סדרות תורת ההסתברות
  מקורות:
  • תחרות גרוסמן, 2006 שאלה 1

• התרגיל המנצח

  מטילים שתי קוביות משחק הוגנות (1-6) ומחשבים שני תרגילים:

  1. סכום כל 10 הפאות הגלויות (5 בכל קובייה)

  2. סכום שתי הפאות העליונות של הקוביות ומכפלתו ב-5

  מהי ההסתברות שתוצאת התרגיל הראשון גבוהה מזו של התרגיל השני?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת ההסתברות
  מקורות:
  • תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024 שאלה 4

• שתי שאלות בהסתברות

  אולי אין סוג של חידה שבה אנשים טועים לעתים קרובות יותר מאשר זו הכוללת את מה שמכונה תורת ההסתברויות. אתן שתי דוגמאות פשוטות לסוג החידה שאני מתכוון אליה. הן באמת די קלות, ובכל זאת אנשים רבים נכשלים בהן. חבר הציג לאחרונה חמישה מטבעות פני ואמר לי: "בהטלת חמשת המטבעות הללו בו זמנית, מה הסיכויים שלפחות ארבעה מהמטבעות יראו או כולם ראשים או כולם זנבות?" הפתרון שלו עצמו היה שגוי לחלוטין, אך התשובה הנכונה לא צריכה להיות קשה לגילוי. אדם אחר קיבל תשובה שגויה לחידה הקטנה הבאה ששמעתי אותו מציע: "אדם הניח שלושה לירות זהב ושִׁילינג אחד בתיק. כמה צריך לשלם עבור רשות לשלוף מטבע אחד ממנו?" מובן כמובן שיש לך סיכוי זהה לשלוף כל אחד מארבעת המטבעות.
  נושאים:

  תורת ההסתברות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 30

• משחק הקוביות המונטנגרי

  מסופר כי לתושבי מונטנגרו יש משחק קוביות קטן שהוא גם גאוני וגם ראוי לחקירה. שני השחקנים בוחרים תחילה שני זוגות שונים של מספרים אי-זוגיים (תמיד גבוהים מ-`3`), ואז מטילים לסירוגין שלוש קוביות. מי שמטיל ראשון את הקוביות כך שסכומן הוא אחד מהמספרים שבחר מנצח. אם שניהם מצליחים בשתי הטלות עוקבות, זה תיקו והם מנסים שוב. לדוגמה, שחקן אחד יכול לבחור `7` ו-`15` והשני `5` ו-`13`. לאחר מכן, אם השחקן הראשון מטיל כך ששלוש הקוביות מסתכמות ל-`7` או `15`, הוא מנצח, אלא אם כן השחקן השני מקבל `5` או `13` בהטלה שלו.

  החידה היא לגלות אילו שני זוגות מספרים יש לבחור כדי לתת לשני השחקנים סיכוי שווה בדיוק.

  נושאים:

  קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים תורת ההסתברות
  מקורות:
  • שעשועונים במתמטיקה, הנרי ארנסט דודני שאלה 397