תחרות החידמטיקה השבועית של בר אילן, 2024

• שאלה 1 - הספְרָה ה-1224

  כותבים את המספרים הטבעיים על פי סדר, זה אחר זה משמאל לימין:

  1234567891011...

  נשים לב למשל, שהספרה במקום ה-10 היא 1 ושהספרה במקום ה-11 היא 0.

  ממשיכים עם הכתיבה הזו, כמה שצריך...

  איזו ספרה תהיה במקום ה-1224 ברצף?

  נושאים:

  תורת המספרים אריתמטיקה הוכחה ודוגמה -> בניית דוגמה אלגברה -> סדרות

• שאלה 2 - שיא המשחק הארוך

  המשחק מתחיל עם שורה ובה 42 מטבעות, בכולם 'פלי' כלפי מעלה.

  כל שחקן בתורו בוחר את אחד המטבעות בהם 'פלי' כלפי מעלה - הופך את המטבע שבחר, וגם את המטבע שצמוד לו מימין (אם קיים).

  הצלחת להביא בתור שלך לכך שכל המטבעות מצביעים 'עץ'? ניצחת את המשחק!

  לכל היותר, אחרי כמה תורות המשחק יסתיים?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  אלגברה -> סדרות -> סדרה חשבונית

• שאלה 3 - רב המחלקים

  מבין המספרים החיוביים-שלמים הקטנים מ-1000, מיהו המספר שיש לו הכי הרבה מחלקים?

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> מספרים ראשוניים -> פרוק לגורמים ראשוניים תורת המספרים -> המחלק המשותף המקסימלי והכפולה המשותפת המינימלית תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה 4 - התרגיל המנצח

  מטילים שתי קוביות משחק הוגנות (1-6) ומחשבים שני תרגילים:

  1. סכום כל 10 הפאות הגלויות (5 בכל קובייה)

  2. סכום שתי הפאות העליונות של הקוביות ומכפלתו ב-5

  מהי ההסתברות שתוצאת התרגיל הראשון גבוהה מזו של התרגיל השני?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה תורת ההסתברות

• שאלה 5 - בצעדי פרש

  פרש נע על גריד אינסופי. הוא מתחיל בנקודה (0,0) ועליו להגיע אל
  הנקודה (5,27). בהנחה שהוא נע במספר הצעדים הקטן ביותר הנדרש,
  כמה אפשרויות שונות יש לו להגיע לנקודה זו?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  קומבינטוריקה -> גאומטריה קומבינטורית -> גאומטריה על נייר משבצות

• שאלה 6 - המספר הנעלם

  בר ואילן בחרו כל אחד מספר שלם בין 1 ל- 30.

  אילן: האם המספר שלך כפול משלי?

  בר: לא יודעת. האם המספר שלך כפול משלי?

  אילן: לא יודע. האם המספר שלך חצי משלי?

  בר: לא יודעת. האם המספר שלך חצי משלי?

  אילן: לא יודע.

  בר: אני יודעת מה המספר שלך.

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים

• שאלה 7 - כמה משולשים?

  כמה משולשים יש בתמונה?

  

  נושאים:

  גאומטריה -> גאומטריה במישור -> משולשים קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים גאומטריה -> גאומטריה במישור -> חשבון זוויות תורת המספרים -> חלוקה

• שאלה 7 - איך שגלגל מסתובב לו

  כל 6 הגלגלים שבשרטוט מסתובבים כשהם נוגעים זה בזה ללא החלקה. קוטרו של הגלגל השמאלי 15.7 ס"מ והוא מבצע 12 סיבובים בדקה.

  ידוע שהגלגל הקטן מבצע סיבוב אחד בשנייה.

  מהו קוטרו של הגלגל הקטן?

  

  נושאים:

  אריתמטיקה גאומטריה -> גאומטריה במישור -> מעגלים אלגברה -> בעיות מילוליות

• שאלה 8 - הספרות שהתחפשו

  בתרגיל החילוק שלפניכם, (כמעט) כל הספרות התחפשו!

  מהו המספר המחולק?

  \(\begin{align*} &\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }**\text{ }8**\\ &\overline{* * * * * * *\text{ } *}| * *\text{ } *\\ &\underline{\text{ }\text{ }* *\text{ } *}\\ &\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }* * * *\\ &\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\underline{\text{ }\text{ }* *\text{ } *}\\ &\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }* * * *\\ &\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\text{ }\underline{* * *\text{ } *}\\ \end{align*}\)

  נושאים:

  אריתמטיקה תורת המספרים -> חלוקה חידות ורבוסים -> שחזרו את התרגיל

• שאלה 9 - שניים רבים השלישי לוקח

  השכבה כולה במחלוקת!

  42 חושבים ש-כן, 43 חושבים ש-אולי ו-36 חושבים ש-לא.

  כאשר שניים שחושבים אחרת זה מזה נפגשים - שניהם משנים את עמדתם לזו השלישית.

  כמה מפגשים לכל הפחות צריכים להתקיים עד שכולם יסכימו על אותה העמדה?

  הצגת רמז

  התחברו כאן לאתר על מנת לקבל את הרמז
  נושאים:

  לוגיקה -> הגיון תורת המספרים -> חלוקה -> זוגיות קומבינטוריקה -> בדיקת מקרים -> תהליכים